Dans ce texte, nous étudions, par des techniques « champêtres », la structure cristalline sur la cohomologie de de Rham d'un schéma propre et lisse sur un corps $p$-adique et ses applications à la théorie de Hodge $p$-adique. Nous développons une théorie générale de la cohomologie cristalline et des complexes de de Rham-Witt associés aux champs algébriques, et l'appliquons à la construction et à l'étude de la $(\varphi , N, G)$-structure sur la cohomologie de de Rham. Nous plaçant du point de vue des champs plutôt que de la géométrie logarithmique, nous développons les ingrédients nécessaires à la démonstration de la conjecture $C_{\text {st}}$ suivant la voie de Fontaine, Messing, Hyodo, Kato et Tsuji (en laissant de côté le calcul-clé des cycles évanescents $p$-adiques). Nous généralisons aussi la construction des opérateurs de monodromie aux schémas au-delà du cas semi-stable, et obtenons de nouveaux résultats sur le caractère modéré de l'action galoisienne sur la cohomologie.