SMF - Publications - Astérisque - Parutions - 2007

les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique (II)
Joseph Ayoub
Astérisque 315 (2007), vi+362 pages
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Résumé :
Ce deuxième volume regroupe les chapitres 3 et 4 de notre étude de la fonctorialité des catégories homotopiques stables des schémas. Dans le volume précédent, nous nous sommes concentrés sur les six opérations f^*, f_*, f_!, f^!, $-\otimes -$ et $\underline{\mathsf{Hom}}(-,-)$ et leurs propriétés de constructibilité et d'exactitude.

On commence ce volume par la construction des foncteurs motifs proches $\Psi _f$ , analogues motiviques des foncteurs cycles proches bien connus en cohomologie étale. On étend ensuite le formalisme des cycles évanescents à ces foncteurs. En particulier, on calcule l'effet du foncteur $\Psi _f$ dans le cas où f est à réduction semi-stable. On montre aussi que les $\Psi _f$ préservent les motifs constructibles, qu'ils commutent au produit tensoriel extérieur et aux foncteurs de dualité. On définit ensuite un opérateur de monodromie et on montre qu'il est nilpotent.

Le dernier chapitre, de nature différente des trois autres, reprend en détail la construction de la catégorie homotopique stable des S-schémas.

Mots clefs : Motifs, six opérations de Grothendieck, dualité de Verdier, cycles évanescents, ${ \mathbb A}^1$ -homotopie des schémas, catégories de modèles

Abstract:
The Grothendieck six operations and the vanishing cycles formalism in the motivic world (II)
This second volume contains chapter 3 and 4 of our study of the functoriality of the stable homotopy categories of schemes. In the previous volume, we concentrated on the six operations f^*, f_*, f_!, f^!, $-\otimes -$ and $\underline{\mathsf{Hom}}(-,-)$ , their constructibility and exactness.

This volume begins with the construction of the nearby motive functors $\Psi _f$ which are the analogue of the nearby cycles functors, well-known in étale cohomology. We then extend the vanishing cycles formalism to these functors. In particular, we compute the effect of the functor $\Psi _f$ in the case where f has semi-stable reduction. We show also that $\Psi _f$ preserve constructible motives and commute with external tensor product and duality. We then define a monodromy operator and prove that this operator is nilpotent.

The last chapter, which is of different nature than the previous ones, recall in full details the construction of the stable homotopy category of S-schemes.

Key words: Motives, Grothendieck six operations, Verdier duality, vanishing cycles, ${ \mathbb A}^1$ -homotopy theory, model categories

Class. math. : 14-02, 14C25, 14F20, 14F35, 14F42, 18A40, 18F10, 18F20, 18F25, 18G55, 19E15

ISBN : 978-2-85629-245-7
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique