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Astérisque - Parutions - 2006 - 305 < Parutions < 2006

$H^{\infty }$ functional calculus and square functions on noncommutative L^p-spaces
Marius Junge - Christian Le Merdy - Quanhua Xu
Astérisque 305 (2006), vi+138 pages
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Présentation : fichier PDF

Résumé :
Calcul fonctionnel $H^{\infty }$ et fonctions carrées dans les espaces L^p non commutatifs
Nous étudions les opérateurs sectoriels et les semigroupes opérant sur un espace L^p non commutatif. Nous introduisons de nouvelles fonctions carrées adaptées à ce contexte et étudions leurs interactions avec le calcul fonctionnel $H^{\infty }$. Nous obtenons des extensions de travaux fameux de Cowling, Doust, McIntoch et Yagi qui concernaient le cas commutatif. Cette étude nécessite l'introduction de variantes de la Rademacher sectorialité et l'usage des structures matricielles sur les espaces L^p non commutatifs. Nous traitons de façon approfondie les semigroupes de diffusion non commutatifs. Il s'agit des semigroupes $(T_t)_{t\geq 0}$ d'opérateurs normaux et auto-adjoints opérant sur une algèbre de von Neumann semifinie $({\mathcal M},\tau )$, tels que $T_t\colon L^p({\mathcal M})\to L^p({\mathcal M})$ est une contraction pour tout $p\geq 1$ et pour tout $t\geq 0$. Nous présentons et étudions plusieurs exemples de tels semigroupes, pour lesquels nous sommes en mesure d'établir une propriété de calcul $H^{\infty }$ borné, ainsi que des estimations quadratiques. Cette étude inclut certains semigroupes engendrés par des opérateurs Hamiltoniens ou des multiplicateurs de Schur, des semigroupes d'Ornstein-Uhlenbeck opérant sur les algèbres de von Neumann de q-déformation de Bozejko-Speicher, et le semigroupe de Poisson non commutatif défini sur l'algèbre de von Neumann d'un groupe libre.

Mots clefs : calcul fonctionnel $H^{\infty }$, espaces L^p non commutatifs, fonctions carrées, opérateurs sectoriels, semigroupes de diffusion, fonctions complètement bornées, multiplicateurs

Abstract:
We investigate sectorial operators and semigroups acting on noncommutative L^p-spaces. We introduce new square functions in this context and study their connection with $H^{\infty }$ functional calculus, extending some famous work by Cowling, Doust, McIntoch and Yagi concerning commutative L^p-spaces. This requires natural variants of Rademacher sectoriality and the use of the matricial structure of noncommutative L^p-spaces. We mainly focus on noncommutative diffusion semigroups, that is, semigroups $(T_t)_{t\geq 0}$ of normal selfadjoint operators on a semifinite von Neumann algebra $({\mathcal M},\tau )$ such that $T_t\colon L^p({\mathcal M})\to L^p({\mathcal M})$ is a contraction for any $p\geq 1$ and any $t\geq 0$. We discuss several examples of such semigroups for which we establish bounded $H^{\infty }$ functional calculus and square function estimates. This includes semigroups generated by certain Hamiltonians or Schur multipliers, q-Ornstein-Uhlenbeck semigroups acting on the q-deformed von Neumann algebras of Bozejko-Speicher, and the noncommutative Poisson semigroup acting on the group von Neumann algebra of a free group.

Key words: $H^{\infty }$ functional calculus, noncommutative L^p-spaces, square functions, sectorial operators, diffusion semigroups, completely bounded maps, multipliers

Class. math. : 47A60, 46L53, 46L55, 46L89, 47L25

ISBN : 978-2-85629-189-4
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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