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Astérisque - Parutions - 2005 - 302 - pages 177-290 < Parutions < 2005 < 302

Formes Automorphes (II) - - Le cas du groupe $\mathrm {GSp}(4)$
Jacques Tilouine - Henri Carayol - Michael Harris - Marie-France Vignéras (Éd.)
Astérisque 302 (2005), xiv+436 pages
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Systèmes de Taylor-Wiles pour $\mathrm {GSp}_4$
Alain Genestier - Jacques Tilouine
Astérisque 302 (2005), 177-290

Résumé :
Dans cet article, nous mettons en œuvre la méthode des systèmes de Taylor-Wiles dans le cas du groupe $\mathrm {GSp}_4$. Nous démontrons ainsi que certaines représentations galoisiennes symplectiques $\rho$ de rang quatre à valeurs p-adiques, de poids de Hodge-Tate réguliers et p-petits, proviennent de formes modulaires de Siegel cuspidales propres cohomologiques. On doit supposer pour cela un certain nombre d'hypothèses. Elles concernent la modularité de la représentation résiduelle $\overline {\rho }=\rho \pmod p$, la grande taille de son image, le caractère ordinaire ou cristallin de la représentation $\rho$ en p, et, si l'on inclut un conducteur auxiliaire, des conditions de minimalité aux premiers divisant le conducteur, qui généralisent celles introduites par Wiles pour $\mathrm {GL}_2$. Nos hypothèses sont naturelles mais certaines (principalement la modularité résiduelle) semblent difficiles à vérifier.

Mots clefs : Représentations galoisiennes, variétés de Siegel, mauvaise réduction, cycles évanescents, niveau parahorique, relations d'Eichler-Shimura, formes modulaires de Siegel

Abstract:
Taylor-Wiles systems for $\mathrm {GSp}_4$
In this paper, we apply the method of Taylor-Wiles systems in the case of the group $\mathrm {GSp}_4$. We thus show that certain symplectic rank four Galois representations $\rho$ with p-adic values and p-small regular Hodge-Tate weights, do come from cohomological cuspidal Siegel eigenforms. For this purpose, one needs to assume certain assumptions. They deal with the residual modularity of $\overline {\rho }=\rho \pmod p$, the large size of its image, the ordinarity or crystallineness of $\rho$ at p, and, if one includes an auxiliary conductor, some minimality conditions for $\rho$ at primes dividing the conductor, which generalize those introduced by Wiles for $\mathrm {GL}_2$. Our assumptions are natural, but some (mainly the residual modularity) are difficult to verify.

Key words: Galois representations, Siegel varieties, bad reduction, vanishing cycles, parahoric level, Eichler-Shimura relations, Siegel modular forms

Class. math. : 11F32, 11F46, 11F80, 11G18, 11R34, 11R39

ISBN : 2-85629-184-8
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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