SMF - Publications - Astérisque - Parutions - 2003

Résumé :
Points de vue sur l'espace de paramètres: le topographe et le résident
Dans ce travail, nous étudions la structure de certains espaces de paramètres. L'objectif est de comprendre les variations de dynamique -- en particulier de dynamique hyperbolique -- dans certains espaces paramétrant des applications rationnelles. Pour cela, nous examinons la structure topologique et géométrique d'espaces plus grands paramétrant des revêtements ramifiés de la sphère de Riemann $\overline {\mathbf C}$ , où plusieurs points critiques sont contraints à avoir une orbite positive finie.
Nous obtenons une description topologique complète des espaces considérés, de deux points de vue, que nous appelons la vue du topographe et la vue du résident. La vue topographique est, en somme, un théorème de géométrisation. Elle montre que l'espace en question est, à une équivalence d'homotopie près, une réunion dénombrable de morceaux géométriques disjoints, reliés ensembles par des anses. Les morceaux géométriques les plus typiques sont des variétés d'applications rationnelles et des tores. La vue du résident est une vue de l'espace des paramètres tout entier depuis le plan dynamique d'une application (un résident) situé dans l'espace des paramètres. C'est nécessairement une vue en dimension 2, dans laquelle les morceaux géométriques de l'espace des paramètres apparaissent comme des régions convexes disjointes dans le plan dynamique.

Mots clefs : Fonctions rationnelles, revêtements ramifiés, point critique, espace de Teichmüller

Abstract:
In this work, we investigate the structure of certain parameter spaces. The aim is to understand the variation of dynamics -- in particular, of hyperbolic dynamics -- in certain parameter spaces of rational maps. In order to do this, we examine the topological and geometric structure of larger parameter spaces, of branched coverings of the Riemann sphere $\overline {\mathbf C}$ , where some of the critical points are constrained to have finite forward orbits.
We obtain a complete topological description of the spaces under consideration, from two points of view, which we call the Topographer's View and the Resident's View. The Topographer's View is, in essence, a geometrising theorem. It shows that the space in question is, up to homotopy equivalence, a countable union of disjoint geometric pieces, joined together by handles. The most typical geometric pieces are varieties of rational maps, and tori. The Resident's View is a view of the whole parameter space from the dynamical plane of a map (a resident) in the parameter space. This is necessarily a two-dimensional view, in which the geometric pieces of the parameter space appear as disjoint convex regions in the dynamical plane.

Key words: Rational maps, branched coverings, critical point, Teichmüller space

Class. math. : 37J40, 37J50, 32H50, 57NXX, 57N16, 30F60

ISBN : 2-85629-144-9
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique