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Astérisque - Parutions - 2002 - 277

Parutions2002

Groupes de Kac-Moody déployés et presque déployés
Bertrand Rémy
Astérisque 277 (2002), viii+348 pages
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Résumé :
Ce travail comporte deux parties.
La première partie est de nature combinatoire et géométrique. On y effectue l'étude abstraite d'une classe de groupes satisfaisant un certain nombre d'axiomes. Ces axiomes sont vérifiés par les groupes algébriques réductifs (isotropes) et par les groupes de Kac-Moody (déployés) par exemple. À chaque groupe est associé un jumelage d'immeubles qui permet d'utiliser les notions de convexité et de courbure négative (singulière). On y établit aussi des théorèmes d'amalgame et de décomposition de Lévi pour certains sous-groupes.
La seconde partie relève de la théorie de Kac-Moody. Il s'agit de formuler une théorie relative des groupes du même nom. Le but est d'obtenir un théorème de descente galoisienne, c'est-à-dire de mettre en évidence la permanence d'une structure combinatoire comme ci-dessus, par passage aux points rationnels. Les outils essentiels sont des arguments de groupes algébriques et l'usage d'une représentation adjointe, substitut fonctoriel d'une structure algébrique.

Mots clefs : Systèmes de Tits et raffinements, immeubles jumelés, courbure négative, convexité, théorie de Kac-Moody relative, groupes algébriques, descente galoisienne

Abstract:
Split and almost split Kac-Moody groups
This work is divided into two parts.
The first part deals with combinatorial and geometric objects. There we do the abstract study of a class of groups satisfying a certain set of axioms. These axioms are satisfied by (isotropic) reductive algebraic groups and by (split) Kac-Moody groups for instance. To each group is attached a twin building, which enables to use the notions of (singular) negative curvature and convexity. We also prove amalgam theorems, as well as Levi decompositions for some subgroups.
The second part is relevant to Kac-Moody theory. We formulate a relative theory for Kac-Moody groups. The goal is to obtain a Galois descent theorem, that is to prove the persistence of the above group combinatorics after passing to rational points. The main tools are algebraic groups arguments and the use of an adjoint representation, a functorial substitute to a global algebro-geometric structure.

Key words: Tits systems and refinements, twin buildings, negative curvature, convexity, relative Kac-Moody theory, algebraic groups, Galois descent

Class. math. : 20E42, 51E24, 20G15, 20F05, 20F55, 17B67, 54E35


ISBN : 2-85629-114-7
ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique