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Astérisque - Parutions - 1999 - 259

Parutions1999

Réductibilité des systèmes produits-croisés à valeurs dans des groupes compacts
Raphaël Krikorian
Astérisque 259 (1999), 222 pages
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Résumé :
Nous étudions dans cet ouvrage le problème de la conjugaison à des constantes (réductibilité) des systèmes produits-croisés quasi-périodiques à valeurs dans des groupes compacts semi-simples, de même que celui de l'existence de solutions de type Floquet pour des systèmes d'équations différentielles linéaires quasi-périodiques à valeurs dans des algèbres compactes semi-simples.

Le résultat principal du livre (chapitre 6) est que, pour des familles de systèmes quasi-périodiques à un paramètre réel à valeurs dans le groupe des rotations de l'espace (de dimension 3), la réductibilité a lieu pour presque toute valeur du paramètre (pourvu que la famille soit suffisamment proche d'une famille de systèmes constants). Pour sa démonstration, qui repose sur une technique d'élimination des résonances due à L.H. Eliasson, nous introduisons une notion de transversalité à la Pyartli, ce qui nous permet de contrôler la dépendance des valeurs propres en fonction du paramètre. Nous faisons également usage d'un théorème de réductibilité pour un ensemble de paramètres de mesure positive, montré dans le cas des groupes compacts semi-simples au chapitre 3. Nous montrons également au chapitre 5, toujours dans le cas des groupes compacts semi-simples, que modulo un revêtement qui ne dépend que du groupe, l'ensemble des systèmes réductibles est dense au voisinage des constantes. Le chapitre 4 du livre établit un théorème de forme normale qui permet de retrouver le résultat en mesure positive du chapitre 3. Enfin nous donnons au chapitre 2 une condition nécessaire et suffisante (modulo un revêtement fini) de réductibilité des systèmes produits-croisés et faisons l'étude du centralisateur des systèmes constants.

Mots clefs : Systèmes produits-croisés, solutions de Floquet, petits diviseurs, méthode KAM, méthode d'Eliasson, quasi-périodicité, transversalité à la Pyartli

Abstract:
Reductibility of skew-product systems with values in compact groups
In this book we study the problem of reducibility (conjugacy to constants) of quasi-periodic skew-product systems with values in compact semisimple groups, as well as the existence of Floquet type solutions for linear differential quasi-periodic systems with values in compact semisimple algebras.

The main result (chapter 6) is that for real one parameter families of quasi-periodic systems with values in the group of rotations of the 3-space, reducibility holds for almost all value of the parameter (provided the family is close enough to some family of constant systems). For the proof of this result, which relies on a resonance removing procedure due to L.H. Eliasson, we introduce a notion of transversality à la Pyartli, which enables us to keep on controlling the dependance of the eigenvalues on the parameter. We also use a positive measure reducibility theorem proven, in case the group is compact semisimple, in chapter 3. We also prove in chapter 5, again in the compact semisimple group case, that modulo some finite covering which depends only on the group, the set of reducible systems is dense near the constants. Chapter 4 is devoted to a normal form type theorem which enables us to recover the result of chapter 3. Finally, we give in chapter 2 a necessary and sufficient condition (modulo a finite covering) for reducibility of skew-product systems and study the centralizer of constant systems.

Key words: Skew-product systems, Floquet type solutions, small divisors, KAM technique, Eliasson's method, quasi-periodicity, Pyartli transversality

Class. math. : 34C35, 58 Fxx


ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique