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Astérisque - Parutions - 1999 - 258 - pages 411-423

Parutions1999258

Structure Theory of Set Addition
Jean-Marc Deshouillers, Bernard Landreau, Alexander A. Yudin (Ed.)
Astérisque 258 (1999), 458 pages
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On series of discrete random variables, 1: - real trinomial distributions with fixed probabilities
Jean-Marc Deshouillers, Gregory A. Freiman, William Moran
Astérisque 258 (1999), 411-423

Résumé :
Cet article démarre l'étude du comportement limite local d'un système triangulaire de variables aléatoires indépendantes $(\zeta _{n,k})_{1 \leq k\leq n}$, où la loi de $\zeta _{n,k}$ dépend de n. Nous considédrons le cas où $\zeta _{n,1}$ prend trois valeurs entières 0< a1(n)< a2(n) avec des probabilités respectives p0, p1, p2 qui ne dépendent pas de n. Nous montrons qu'il y a trois types de comportement limite pour la suite des variables aléatoires $\eta _n=\zeta _{n,1}+\cdots +\zeta _{n,n} $, selon que $a_2(n)/\mbox {pgcd}(a_1(n),a_2(n))$ tend vers l'infini plus lentement, plus vite ou à la même vitesse que $\sqrt {n}$.

Abstract:
This paper begins the study of the local limit behaviour of triangular arrays of independent random variables $(\zeta _{n,k})_{1 \leq k\leq n}$ where the law of $\zeta _{n,k}$ depends on on n. We consider the case when $\zeta _{n,1}$ takes three integral values 0< a1(n)< a2(n) with respective probabilities p0, p1, p2 which do not depend on n. We show three types of limit behaviours for the sequence of r. v. $\eta _n=\zeta _{n,1}+\cdots +\zeta _{n,n} $, according as $a_2(n)/\mbox {gcd}(a_1(n),a_2(n))$ tends to infinity slower, quicker or at the same speed as $\sqrt {n}$.

Key words: Sums of discrete random variables, local limit theorems, characteristic function, number theoretic methods, circle method

Class. math. : 60F05, 60E10, 11P55, 11Z05.


ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique