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Astérisque - Parutions - 1999 - 258 - pages 35-76

Parutions1999258

Structure Theory of Set Addition
Jean-Marc Deshouillers, Bernard Landreau, Alexander A. Yudin (Ed.)
Astérisque 258 (1999), 458 pages
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Sets of integers with large trigonometric sums
Amnon Besser
Astérisque 258 (1999), 35-76

Résumé :
Nous cherchons à optimiser, pour un entier k et un réel u fixés, sur tous les ensembles $K= \{ a_1 < a_2 < \cdots < a_k \}\subset 
\mathbb {Z}
$, la mesure de l'ensemble des $\alpha \in [0,1]$ tels que la valeur absolue de la somme trigonométrique $S_K ( \alpha ) = \sum _{j=1}^k e^{2 \pi i \alpha a_j }$ soit supérieure à k-u. Lorsque u est suffisamment petit par rapport à k, nous sommes en mesure de construire un ensemble Kex qui est presque optimal. Cet ensemble est une union finie de progressions arithmétiques. Nous montrons que tout ensemble plus performant, s'il existe, a une structure similaire à celle de Kex. On obtient également des bornes inférieures et supérieures précises pour la mesure maximale.

Abstract:
We investigate the problem of optimizing, for a fixed integer k and real u and on all sets $K= \{ a_1 < a_2 < \cdots < a_k \}\subset 
\mathbb {Z}
$, the measure of the set of $\alpha \in [0,1]$ where the absolute value of the trigonometric sum $S_K ( \alpha ) = \sum _{j=1}^k e^{2 \pi i \alpha a_j }$ is greater than k-u. When u is sufficiently small with respect to k we are able to construct a set Kex which is very close to optimal. This set is a union of a finite number of arithmetic progressions. We are able to show that any better set, if such as one exists, has a structure similar to that of Kex. We also get tight upper and lower bounds on the maximal measure.

Key words: Trigonometric sums

Class. math. : Primary 11L03; Secondary 42A05.


ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique