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Astérisque - Parutions - 1999 - 258 - pages 109-127

Parutions1999258

Structure Theory of Set Addition
Jean-Marc Deshouillers, Bernard Landreau, Alexander A. Yudin (Ed.)
Astérisque 258 (1999), 458 pages
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On finite addition theorems
András Sárkozy
Astérisque 258 (1999), 109-127

Résumé :
Si un ensemble fini A d'entiers inclus dans $\{1, \ldots , N\}$ a plus de N/k éléments, on peut s'attendre à ce que l'ensemble $\ell A$ des sommes de $\ell $ éléments de A, contienne, quand $\ell $ est comparable à k, une progression arithmétique (homogène ou non) assez longue. Après la présentation de l'état des lieux, nous montrons que certains de ces résultats ne peuvent pas être améliorés autant que la considération du cas infini pourrait le laisser prévoir. L'article s'achève sur un résultat fournissant des majorations et minorations de l'ordre, en tant que base asymptotique, des sous-suites, de densité relative positive, des nombres premiers.

Abstract:
If a finite set A of integers included in $\{1, \ldots , N\}$ has more than N/k elements, one may expect that the set $\ell A$ of sums of $\ell $ elements of A, contains, when $\ell $ is comparable to k, a rather long arithmetic progression (which can be required to be homogeneous or not). After presenting the state of the art, we show that some of the results cannot be improved as far as it would be thought possible in view of the known results in the infinite case. The paper ends with lower and upper bounds for the order, as asymptotic bases, of the subsequences of the primes which have a positive relative density.

Key words: additive number theory, density, additive bases, structure theory of set addition

Class. math. : 11B13, 11B25, 11B05


ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique