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Astérisque - Parutions - 1999 - 254

Parutions1999

Local tame lifting for GL(n) II: wildly ramified supercuspidals
Colin J. Bushnell, Guy Henniart
Astérisque 254 (1999), 111 pages
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Résumé :
Changement de base local modéré pour GL(n) II : représentations supercuspidales sauvages
Soit F un corps local non archimédien à corps résiduel fini de caractéristique p. Une représentation irréductible $\sigma $ du groupe de Weil $\scr W_F$ de F est dite sauvagement ramifiée si $\dim \sigma $ est une puissance de p et $\sigma \not \cong \chi \otimes \sigma $ pour tout quasicaractère non ramifié $\chi \neq 1$ de $\scr W_F$. Notons $\Scr G^{\rm wr}_m(F)$ l'ensemble des classes d'isomorphie de telles représentations de dimension pm. Une représentation irréductible supercuspidale $\pi $ de ${\rm GL}_n(F)$ est dite sauvagement ramifiée si n est une puissance de p et $\pi \not \cong \pi \otimes (\chi \circ \det )$ pour tout quasicaractère non ramifié $\chi \neq 1$ de $F^\times $. Notons $\Scr A^{\rm wr}_m(F)$ l'ensemble des classes d'isomorphie de telles représentations de ${\rm GL}_{p^m}(F)$. Dans cet article, nous faisons deux choses. En premier, nous proposons une définition d'une application de changement de base $\boldsymbol l_{K/F}:\Scr A^{\rm wr}_m(F) \to \Scr A^{\rm wr}_m(F)$, où K/F est une extension finie modérée. La méthode est locale et explicite, basée sur la classification des représentations supercuspidales due à C. Bushnell et Ph. Kutzko et une définition partielle du changement de base modéré (non galoisien), due aux auteurs. Les arguments s'étendent à des corps locaux de caractéristique non nulle. Si le corps F est de caractéristique nulle et que K/F est cyclique de degré premier à p, nous montrons que cette application coîncide avec le changement de base au sens de J. Arthur et L. Clozel. Deuxièmement, dans le cas où F est de caractéristique nulle, nous construisons une bijection canonique $\boldsymbol \pi _m^F:\Scr G^{\rm wr}_m(F) \to \Scr A^{\rm wr}_m(F)$ qui possède beaucoup des propriétés exigées d'une correspondance de Langlands.

Récemment, M. Harris et R. Taylor ont annoncé une preuve, par voie globale et géométrique, des conjectures de Langlands pour ${\rm GL}_n(F)$. Leurs résultats impliquent l'existence d'une bijection canonique $\scr L_m:\Scr G^{\rm wr}_m(F) \to \Scr A^{\rm wr}_m(F)$. Pour $\sigma \in \Scr G^{\rm wr}_m(F)$, il existe un quasicaractère non ramifié $\chi _\sigma $ de $\scr W_F$, d'ordre fini divisant pm, tel que $\boldsymbol \pi _m(\sigma ) = \scr L_m(\sigma \otimes \chi _\sigma )$.

Nous espérons que les méthodes du présent article mèneront à une preuve alternative des conjectures locales de Langlands pour ${\rm GL}_n$.

Abstract:
Let F be a non-Archimedean local field with finite residue field of characteristic p. An irreducible representation $\sigma $ of the Weil group $\scr W_F$ of F is called wildly ramified if $\dim \sigma $ is a power of p and $\sigma \not \cong \chi \otimes \sigma $ for any unramified quasicharacter $\chi \neq 1$ of $\scr W_F$. We write $\Scr G^{\rm wr}_m(F)$ for the set of equivalence classes of such representations of dimension pm. An irreducible supercuspidal representation $\pi $ of ${\rm GL}_n(F)$ is wildly ramified if n is a power of p and $\pi \not \cong \pi \otimes (\chi \circ \det )$ for any unramified quasicharacter $\chi \neq 1$ of $F^\times $. We write $\Scr A^{\rm wr}_m(F)$ for the set of equivalence classses of such representations of ${\rm GL}_{p^m}(F)$. In this paper, we do two things. First, we propose a definition of a base change map $\boldsymbol l_{K/F}:\Scr A^{\rm wr}_m(F) \to \Scr A^{\rm wr}_m(K)$ for any finite tame extension K/F. The construction is explicit and local, being based on the classification of supercuspidal representations of ${\rm GL}_n(F)$ (due to C. Bushnell and P.C. Kutzko) and a partial definition of (non-Galois) tame base change (due to the authors). The results apply to local fields F of positive characteristic. When F has characteristic zero and K/F is cyclic of degree prime to p we show that this map coincides with base change in the sense of Arthur and Clozel. Second, when F has characteristic zero, we construct a canonical bijection $\boldsymbol \pi _m^F:\Scr G^{\rm wr}_m(F) \to \Scr A^{\rm wr}_m(F)$, for each m. We show that this has many of the properties demanded of a Langlands correspondence.

Recently, M. Harris and R. Taylor have announced a proof of the local Langlands conjecture for ${\rm GL}_n(F)$, using a global geometric method. This implies the existence of a canonical bijection $\scr L_m:\Scr G^{\rm wr}_m(F) \to \Scr A^{\rm wr}_m(F)$. If $\sigma \in \Scr G^{\rm wr}_m(F)$, there is an unramified quasicharacter $\chi _\sigma $ of $\scr W_F$ of finite order dividing pm such that $\boldsymbol \pi _m(\sigma ) = \scr L_m(\sigma \otimes \chi _\sigma )$.

We expect that the methods of this paper will lead to another proof of the local Langlands conjecture for ${\rm GL}_n$.

Key words: Local field, Langlands correspondence, local constant, base change

Class. math. : 22E50, 11F70, 11R69


ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique