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Astérisque - Parutions - 1997 - 246

Parutions1997

Geometry of q-Hypergeometric Functions, Quantum Affine Algebras and Elliptic Quantum Groups
V. Tarasov,A. Varchenko
Astérisque 246 (1997), 139 pages
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Résumé :
L'équation de Knizhnik-Zamolodchikov (qKZ) trigonométrique quantifiée associée au groupe quantique $U_q(
\mathfrak {sl}
_2)$ est un système linéaire d'équations aux différences finies à valeurs dans un produit tensoriel de $U_q(
\mathfrak {sl}
_2)$-modules de Verma. Nous résolvons cette équation en terme de fonctions q-hypergéométriques multidimensionnelles et définissons un isomorphisme naturel entre l'espace des solutions et le produit tensoriel des modules de Verma d'évaluation correspondants sur le groupe quantique elliptique $E_{\rho ,\gamma }(
\mathfrak {sl}
_2)$, les paramètres $\rho $ et $\gamma $ étant reliés aux paramètres q du groupe quantique elliptique $U_q(
\mathfrak {sl}
_2)$ et p de l'équation qKZ par les relations $p=e^{2\pi i\rho }$ et $q=e^{-2\pi i\gamma }$.

Nous construisons des solutions asymptotiques qui sont associées à des secteurs asymptotiques convenables et calculons les fonctions de transition entre les solutions asymptotiques en fonction des R-matrices elliptiques dynamiques. Cette description des fonctions de transition relie la théorie des représentations de l'algèbre de lacets quantique $U_q(\widetilde {
\mathfrak {gl}
_2})$ à celle du groupe quantique elliptique $E_{\rho ,\gamma }(
\mathfrak {sl}
_2)$ et est analogue au théorème de Kohno-Drinfeld concernant le groupe de monodromie de l'équation différentielle de Knizhnik-Zamolodchikov.

Pour établir ces résultats nous construisons une connexion de Gauss-Manin discrète, en particulier un système local discret convenable, des groupes d'homologie et de cohomologie à coefficients dans ce système local, et identifions une équation aux différences associée à ces données à l'équation qKZ.

Abstract:
The trigonometric quantized Knizhnik-Zamolodchikov
(qKZ) equation associated with the quantum group $U_q(
\mathfrak {sl}
_2)$ is a system of linear difference equations with values in a tensor product of $U_q(
\mathfrak {sl}
_2)$ Verma modules. We solve the equation in terms of multidimensional q-hypergeometric functions and define a natural isomorphism of the space of solutions and the tensor product of the corresponding evaluation Verma modules over the elliptic quantum group $E_{\rho ,\gamma }(
\mathfrak {sl}
_2)$ where parameters $\rho $ and $\gamma $ are related to the parameter q of the quantum group $U_q(
\mathfrak {sl}
_2)$ and the step p of the qKZ equation via $p=e^{2\pi i\rho }$ and $q=e^{-2\pi i\gamma }$.

We construct asymptotic solutions associated with suitable asymptotic zones and compute the transition functions between the asymptotic solutions in terms of the dynamical elliptic R-matrices. This description of the transition functions gives a connection between representation theories of the quantum loop algebra $U_q(\widetilde {
\mathfrak {gl}
_2})$ and the elliptic quantum group $E_{\rho ,\gamma }(
\mathfrak {sl}
_2)$ and is analogous to the Kohno-Drinfeld theorem on the monodromy group of the differential Knizhnik-Zamolodchikov equation.

In order to establish these results we construct a discrete Gauss-Manin connection, in particular, a suitable discrete local system, discrete homology and cohomology groups with coefficients in this local system, and identify an associated difference equation with the qKZ equation.

Key words: Discrete local system, discrete Gauss-Manin connection, quantized Knizhnik-Zamolodchikov equation, tensor coordinates, asymptotic solutions, transition functions

Class. math. : 17 B 37, 17 B 65, 33 D 60, 33 D 70, 33 D 80, 81 R 10, 81 R 50


ISSN : 0303-1179
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique