L'équation de Knizhnik-Zamolodchikov (qKZ) trigonométrique quantifiée associée au groupe quantique $U_q(\mathfrak {sl}_2)$ est un système linéaire d'équations aux différences finies à valeurs dans un produit tensoriel de $U_q(\mathfrak {sl}_2)$-modules de Verma. Nous résolvons cette équation en terme de fonctions $q$-hypergéométriques multidimensionnelles et définissons un isomorphisme naturel entre l'espace des solutions et le produit tensoriel des modules de Verma d'évaluation correspondants sur le groupe quantique elliptique $E_{\rho ,\gamma }(\mathfrak {sl}_2)$, les paramètres $\rho $ et $\gamma $ étant reliés aux paramètres $q$ du groupe quantique elliptique $U_q(\mathfrak {sl}_2)$ et $p$ de l'équation qKZ par les relations $p=e^{2\pi i\rho }$ et $q=e^{-2\pi i\gamma }$. Nous construisons des solutions asymptotiques qui sont associées à des secteurs asymptotiques convenables et calculons les fonctions de transition entre les solutions asymptotiques en fonction des $R$-matrices elliptiques dynamiques. Cette description des fonctions de transition relie la théorie des représentations de l'algèbre de lacets quantique $U_q(\widetilde {\mathfrak {gl}_2})$ à celle du groupe quantique elliptique $E_{\rho ,\gamma }(\mathfrak {sl}_2)$ et est analogue au théorème de Kohno-Drinfeld concernant le groupe de monodromie de l'équation différentielle de Knizhnik-Zamolodchikov. Pour établir ces résultats nous construisons une connexion de Gauss-Manin discrète, en particulier un système local discret convenable, des groupes d'homologie et de cohomologie à coefficients dans ce système local, et identifions une équation aux différences associée à ces données à l'équation qKZ.