Nous prouvons un résultat de finitude pour la cohomologie $p$-adique de la tour de Lubin-Tate. Pour tout $n\geq 1$ et corps $p$-adique $F$, cela fournit un functor canonique à partir de représentations $p$-adiques admissibles de $\mathrm {GL} _n(F)$ vers des représentations $p$-adiques admissibles de $\mathrm {Gal} _F\times D^\times $, où $\mathrm {Gal} _F$ est le groupe de Galois absolu de $F$, et $D/F$ est l'algèbre à division centrale d'invariant $1/n$. De plus, nous vérifions une compatibilité locale-globale pour cette correspondance, et une compatibilité avec le patching de Caraiani-Emerton-Gee-Geraghty-Paskunas-Shin.