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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 51 (2018)

Parutions < série 4, 51

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 51, fascicule 1 (2018)

François Berteloot, Fabrizio Bianchi, Christophe Dupont
Dynamical stability and Lyapunov exponents for holomorphic endomorphisms of P^k
Annales scientifiques de l'ENS 51, fascicule 1 (2018), 215-262

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Résumé :
Stabilité dynamique et exposants de Lyapunov pour les endomorphismes holomorphes de P^k
Nous introduisons une notion de stabilité pour les mesures d'équilibre des familles holomorphes d'endomorphismes de P ^k et démontrons qu'elle est équivalente à la stabilité des cycles répulsifs et équivalente à l'existence d'un mouvement holomorphe mesurable des ensembles de Julia, appelé lamination d'équilibre. Nous caractérisons les bifurcations correspondantes par la sous-harmonicité stricte de la somme des exposants de Lyapunov ou par l'instabilité de la dynamique critique, nous analysons aussi comment les cycles répulsifs peuvent bifurquer. Nos méthodes reposent sur les propriétés des exposants de Lyapunov, sur la théorie ergodique et sur la théorie du pluripotentiel.

Mots-clefs : Dynamique holomorphe, stabilité dynamique, courants positifs, exposants de Lyapunov.

Abstract:
We introduce a notion of stability for equilibrium measures in holomorphic families of endomorphisms of P ^k and prove that it is equivalent to the stability of repelling cycles and equivalent to the existence of some measurable holomorphic motion of Julia sets which we call equilibrium lamination. We characterize the corresponding bifurcations by the strict subharmonicity of the sum of Lyapunov exponents or the instability of critical dynamics and analyze how repelling cycles may bifurcate. Our methods deeply exploit the properties of Lyapunov exponents and are based on ergodic and pluripotential theory.

Keywords: Holomorphic dynamics, dynamical stability, positive currents, Lyapunov exponents.

Class. math. : 32H50, 32U40, 37F45, 37F50, 37H15.


ISSN : 0012-9593
DOI : 10.24033/asens.2355
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Arnold, Ludwig
Random dynamical systems
Springer Monographs in Math., Springer, Berlin, 1998
Math Reviews MR1723992
2
Bassanelli, Giovanni and Berteloot, François
Bifurcation currents in holomorphic dynamics on P^k
J. reine angew. Math. 608 (2007) 201–235
Math Reviews MR2339474
3
Bassanelli, Giovanni and Berteloot, François
Lyapunov exponents, bifurcation currents and laminations in bifurcation loci
Math. Ann. 345 (2009) 1–23
Math Reviews MR2520048
4
Bedford, Eric and Jonsson, Mattias
Dynamics of regular polynomial endomorphisms of <b>C</b>^k
Amer. J. Math. 122 (2000) 153–212
Math Reviews MR1737260
5
Berger, P. and Dujardin, Romain
On stability and hyperbolicity for polynomial automorphisms of C^2
Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 50 (2016) 449–477
6
Berteloot, François
Bifurcation currents in holomorphic families of rational maps
in Pluripotential theory
Lecture Notes in Math. 2075 (2013) 1–93
Math Reviews MR3089068
7
Berteloot, François and Dupont, Christophe
Une caractérisation des endomorphismes de Lattès par leur mesure de Green
Comment. Math. Helv. 80 (2005) 433–454
Math Reviews MR2142250
8
Berteloot, François and Dupont, Christophe and Molino, Laura
Normalization of bundle holomorphic contractions and applications to dynamics
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 58 (2008) 2137–2168
Math Reviews MR2473632
9
Berteloot, François and Loeb, Jean-Jacques
Une caractérisation géométrique des exemples de Lattès de P^k
Bull. Soc. Math. France 129 (2001) 175–188
Math Reviews MR1871293
10
Briend, Jean-Yves and Duval, Julien
Exposants de Liapounoff et distribution des points périodiques d'un endomorphisme de CP^k
Acta Math. 182 (1999) 143–157
Math Reviews MR1710180
11
Briend, Jean-Yves and Duval, Julien
Deux caractérisations de la mesure d'équilibre d'un endomorphisme de P^k(<b>C</b>)
Publ. Math. IHÉS 93 (2001) 145–159 erratum in Publ. Math. IHÉS 109 (2009), 295–296
Math Reviews MR2511590
12
Brjuno, A. D.
Analytic form of differential equations. I, II
Trudy Moskov. Mat. Obšč. 25 (1971) transl. in Trans. Moscow Math. Soc., 25 (1971), 131–288
Math Reviews MR0377192
13
Buff, Xavier and Epstein, Adam
Bifurcation measure and postcritically finite rational maps
in Complex dynamics
(2009) 491–512
Math Reviews MR2508266
14
Buzzard, Gregery T.
Infinitely many periodic attractors for holomorphic maps of 2 variables
Ann. of Math. 145 (1997) 389–417
Math Reviews MR1441881
15
Cornfeld, I. P. and Fomin, S. V. and Sina, Ya. G.
Ergodic theory
Grundl. math. Wiss., vol. 245, Springer, New York, 1982
Math Reviews MR832433
16
DeMarco, Laura
Dynamics of rational maps: Lyapunov exponents, bifurcations, and capacity
Math. Ann. 326 (2003) 43–73
Math Reviews MR1981611
17
de Melo, Welington and van Strien, Sebastian
One-dimensional dynamics
Ergebn. Math. Grenzg., vol. 25, Springer, Berlin, 1993
Math Reviews MR1239171
18
de Thélin, Henry
Un phénomène de concentration de genre
Math. Ann. 332 (2005) 483–498
Math Reviews MR2181759
19
Dinh, Tien-Cuong
Sur les applications de Lattès de P^k
J. Math. Pures Appl. 80 (2001) 577–592
Math Reviews MR1842291
20
Dinh, Tien-Cuong
Suites d'applications méromorphes multivaluées et courants laminaires
J. Geom. Anal. 15 (2005) 207–227
Math Reviews MR2152480
21
Dinh, Tien-Cuong
Attracting current and equilibrium measure for attractors on P^k
J. Geom. Anal. 17 (2007) 227–244
Math Reviews MR2320237
22
Dinh, Tien-Cuong and Sibony, Nessim
Dynamique des applications d'allure polynomiale
J. Math. Pures Appl. 82 (2003) 367–423
Math Reviews MR1992375
23
Dinh, Tien-Cuong and Sibony, Nessim
Geometry of currents, intersection theory and dynamics of horizontal-like maps
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006) 423–457
Math Reviews MR2226022
24
Dinh, Tien-Cuong and Sibony, Nessim
Dynamics in several complex variables: endomorphisms of projective spaces and polynomial-like mappings
in Holomorphic dynamical systems
Lecture Notes in Math. 1998 (2010) 165–294
Math Reviews MR2648690
25
Douady, Adrien
Does a Julia set depend continuously on the polynomial?
in Complex dynamical systems (Cincinnati, OH, 1994)
Proc. Sympos. Appl. Math. 49 (1994) 91–138
Math Reviews MR1315535
26
Dujardin, Romain and Lyubich, Mikhail
Stability and bifurcations for dissipative polynomial automorphisms of C^2
Invent. math. 200 (2015) 439–511
Math Reviews MR3338008
27
Dupont, Christophe
Exemples de Lattès et domaines faiblement sphériques de C^n
Manuscripta Math. 111 (2003) 357–378
Math Reviews MR1993500
28
Dupont, Christophe
Formule de Pesin et applications méromorphes
Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.) 37 (2006) 393–418
Math Reviews MR2267785
29
Fornæss, John Erik and Sibony, Nessim
Complex dynamics in higher dimensions
in Complex potential theory (Montreal, PQ, 1993)
NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. 439 (1994) 131–186
Math Reviews MR1332961
30
Fornæss, John Erik and Sibony, Nessim
Dynamics of <b>P</b>^2 (examples)
in Laminations and foliations in dynamics, geometry and topology (Stony Brook, NY, 1998)
Contemp. Math. 269 (2001) 47–85
Math Reviews MR1810536
31
Hubbard, John H. and Papadopol, Peter
Superattractive fixed points in <b>C</b>^n
Indiana Univ. Math. J. 43 (1994) 321–365
Math Reviews MR1275463
32
Lyubich, Mikhail
Some typical properties of the dynamics of rational mappings
Uspekhi Mat. Nauk 38 (1983) 197–198 transl. in Russian Math. Surveys 38 (1983), 154–155
Math Reviews MR718838
33
Lyubich, Mikhail
Investigation of the stability of the dynamics of rational functions
Teor. FunktsiFunktsional. Anal. i Prilozhen. 42 (1984) 72–91 transl. in Selecta Math. Sovietica 9 (1990), 69–90
Math Reviews MR751394
34
Mañé, R. and Sad, P. and Sullivan, D.
On the dynamics of rational maps
Ann. Sci. École Norm. Sup. 16 (1983) 193–217
Math Reviews MR732343
35
36
Przytycki, Feliks
Hausdorff dimension of harmonic measure on the boundary of an attractive basin for a holomorphic map
Invent. math. 80 (1985) 161–179
Math Reviews MR784535
37
Ueda, Tetsuo
Critical orbits of holomorphic maps on projective spaces
J. Geom. Anal. 8 (1998) 319–334
Math Reviews MR1705160