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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 51 (2018)

Parutions < série 4, 51

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 51, fascicule 1 (2018)

Pierre Dèbes
Groups with no parametric Galois realizations
Annales scientifiques de l'ENS 51, fascicule 1 (2018), 143-179

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Résumé :
Groupes sans réalisations galoisiennes paramétriques
Nous réfutons une forme forte du problème inverse de Galois régulier: il existe des groupes finis G qui n'ont pas de réalisation régulière F/Q (T) induisant toutes les extensions galoisiennes L/Q (U) de groupe G par spécialisation de T en f(U) -1mm -1mm Qq (U). Une propriété de relèvement bien plus faible est même infirmée pour ces groupes: deux réalisations L/Q (U) existent qui ne peuvent être induites par des réalisations ayant le même type de ramification. Nos exemples de tels groupes G incluent les groupes symétriques S_n, n6, une infinité de PSL_2(F _p), le Monstre. Deux variantes de la question, où Q (U) est remplacé par C (U) et Q, ont une réponse similaire, la seconde sous une «hypothèse de travail» liée à un problème de Fried-Schinzel. Nous introduisons deux nouveaux outils: un théorème de comparaison entre les invariants d'une extension F/C (T) et ceux de celle obtenue en spécialisant T en f(U) -1mm -1mm C (U); et, étant données deux extensions régulières galoisiennes de k(T), un ensemble fini de k(U)-courbes qui disent si ces extensions ont une spécialisation commune E/k.

Mots-clefs : Extensions galoisiennes, théorie inverse de Galois, spécialisation, extensions paramétriques, twisting.

Abstract:
We disprove a strong form of the Regular Inverse Galois Problem: there exist finite groups G which do not have a Q (U)-parametric extension, i.e., a regular realization F/Q (T) that induces all Galois extensions L/Qq (U) of group G by specializing T to f(U) -1mm -1mm Q (U). A much weaker Lifting Property is even disproved for these groups: two realizations L/Q (U) exist that cannot be induced by realizations with the same ramification type. Our examples of such groups G include symmetric groups S_n, n6, infinitely many PSL_2(F _p), the Monster. Two variants of the question with Q (U) replaced by C (U) and Q are answered similarly, the second one under a diophantine “working hypothesis” going back to a problem of Fried-Schinzel. We introduce two new tools: a comparison theorem between the invariants of an extension F/C (T) and those obtained by specializing T to f(U) -1mm -1mm C (U); and, given two regular Galois extensions of k(T), a finite set of k(U)-curves that say whether these extensions have a common specialization E/k.

Keywords: Galois extensions, inverse Galois theory, specialization, parametric extensions, twisting.

Class. math. : 12F12, 11R58, 14E20; 14E22, 12E30, 11Gxx.


ISSN : 0012-9593
DOI : 10.24033/asens.2353
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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