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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 50 (2017)

Parutions < série 4, 50

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 50, fascicule 4 (2017)

Ekaterina Amerik, Misha Verbitsky
Morrison-Kawamata cone conjecture for hyperkähler manifolds
Annales scientifiques de l'ENS 50, fascicule 4 (2017), 973-993

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Résumé :
Conjecture de Morrison-Kawamata pour les variétés hyperkählériennes
Soit M une variété hyperkählérienne irréductible. En supposant b_2(M)5, nous montrons que le groupe d'automorphismes de M n'a qu'un nombre fini d'orbites sur l'ensemble des faces du cône de Kähler. Cet enoncé est une version de la conjecture de Morrison-Kawamata pour les variétés hyperkählériennes. Une conséquence en est la finitude du nombre des modèles birationnels pour une telle variété. La preuve s'appuie sur l'observation suivante, qui se démontre dans le cadre de la théorie ergodique : soient M une variété riemanienne complète de dimension au moins trois, de courbure constante négative et de volume fini, et S_i un ensemble infini d'hypersurfaces localement géodésiques. Alors la réunion des S_i est dense dans M.

Mots-clefs : Variété hyperkählerienne, espace de modules, application de périodes, théorème de Torelli.

Abstract:
Let M be a simple hyperkähler manifold, that is, a simply connected compact holomorphically symplectic manifold of Kähler type with h^2,0=1. Assuming b_2(M)5, we prove that the group of holomorphic automorphisms of M acts on the set of faces of its Kähler cone with finitely many orbits. This statement is known as Morrison-Kawamata cone conjecture for hyperkähler manifolds. As an implication, we show that a hyperkähler manifold has only finitely many non-equivalent birational models. The proof is based on the following observation, proven with ergodic theory. Let M be a complete Riemannian manifold of dimension at least three, constant negative curvature and finite volume, and S_i an infinite set of complete, locally geodesic hypersurfaces. Then the union of S_i is dense in M.

Keywords: 53C26, 32G13


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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