Nous étudions des équations de Hamilton-Jacobi posées sur des réseaux dans le cas d'Hamiltoniens quasi-convexes en la variable gradient et qui peuvent être discontinus en la variable d'espace au niveau des sommets. Nous prouvons d'une part qu'imposer une condition de jonction générale est équivalent à en imposer une de type contrôle optimal, qui ne dépend que des Hamiltoniens et d'un paramètre libre additionnel, le limiteur de flux. Nous introduisons d'autre part une méthode générale pour montrer des principes de comparaison. Cette méthode repose sur la construction d'une fonction sommet destinée à remplacer dans la méthode de dédoublement des variables la fonction quadratique habituelle. Nous présentons ensuite un large éventail d'applications, et notamment un résultat d'existence et d'unicité très général pour les équations de Hamilton-Jacobi quasi-convexes posées sur les réseaux.