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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 50 (2017)

Parutions < série 4, 50

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 50, fascicule 6 (2017)

Joseph Ayoub, Florian Ivorra, Julien Sebag
Motives of rigid analytic tubes and nearby motivic sheaves
Annales scientifiques de l'ENS 50, fascicule 6 (2017), 1335-1382

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Résumé :
Motifs des tubes analytiques rigides et faisceaux cycles proches motiviques
Soient k un corps de caractéristique nulle, R=k[[ t ]] l'anneau des séries formelles sur k et K=k((t)) son corps des fractions. Soit X un R-schéma de type fini génériquement lisse. Soient X la complétion t-adique de X et X_ sa fibre générique. Soit ZX_ un sous-ensemble localement fermé de X. Dans cet article, nous lions le motif rigide du tube ]Z[ de Z dans X_ à la restriction à Z du faisceau cycles proches motivique associé au R-schéma X. Le théorème tube, qui est notre résultat principal, peut être interprété comme un analogue motivique d'un théorème de Berkovich. Comme application, étant donné un point rationnel xX_, nous obtenons une égalité dans un anneau de Grothendieck de motifs adéquat entre la fibre de Milnor motivique de Denef-Loeser en x et la classe du motif rigide de la fibre de Milnor analytique de Nicaise-Sebag en x.

Mots-clefs : Faisceaux motiviques, faisceaux cycles proches motiviques, motifs rigides, tubes, fibre de Milnor motivique, fibre de Milnor analytique

Abstract:
Let k be a field of characteristic zero, R=k[[ t ]] the ring of formal power series and K=k(( t)) its fraction field. Let X be a finite type R-scheme with smooth generic fiber. Let X be the t-adic completion of X and X_ the generic fiber of X. Let ZX_ be a locally closed subset of the special fiber of X. In this article, we establish a relation between the rigid motive of ]Z[ (the tube of Z in X_) and the restriction to Z of the nearby motivic sheaf associated with the R-scheme X. Our main result, Theorem tube, can be interpreted as a motivic analog of a theorem of Berkovich. As an application, given a rational point xX_, we obtain an equality, in a suitable Grothendieck ring of motives, between the motivic Milnor fiber of Denef-Loeser at x and the class of the rigid motive of the analytic Milnor fiber of Nicaise-Sebag at x.

Keywords: Motivic sheaves, nearby motivic sheaves, rigid motives, tubes, analytic Milnor fiber, motivic Milnor fiber

Class. math. : 14B20, 14C15, 14F42, 14G22, 32S30


ISSN : 0012-9593
DOI : doi:10.24033/asens.2347
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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