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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 50 (2017)

Parutions < série 4, 50

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 50, fascicule 1 (2017)

Maxime Gheysens, Nicolas Monod
Fixed points for bounded orbits in Hilbert spaces
Annales scientifiques de l'ENS 50, fascicule 1 (2017), 131-156

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Résumé :
Points fixes en présence d'orbites bornées dans les espaces hilbertiens
Nous considérons la propriété suivante pour un groupe topologique G : toute action affine continue de G sur un espace hilbertien ayant une orbite bornée a un point fixe. Nous montrons qu'elle caractérise la moyennabilité des groupes localement compacts dénombrables à l'infini (en particulier des groupes discrets dénombrables). Pour ce faire, nous introduisons une variante «modérée» de l'induction des représentations et nous généralisons le théorème de Gaboriau-Lyons pour montrer que tout groupe localement compact non moyennable admet, dans un sens probabiliste, des sous-groupes libres discrets. Ceci fournit une «solution au sens de la mesure» au problème de von Neumann pour les groupes localement compacts. Nous illustrons ce dernier résultat en fournissant une réponse partielle au problème de Dixmier pour les groupes localement compacts.

Mots-clefs : Groupe moyennable, théorème du point fixe, problème de von Neumann, problème de Dixmier

Abstract:
Consider the following property of a topological group G: every continuous affine G-action on a Hilbert space with a bounded orbit has a fixed point. We prove that this property characterizes amenability for locally compact -compact groups (e.g., countable groups). Along the way, we introduce a “moderate” variant of the classical induction of representations and we generalize the Gaboriau-Lyons theorem to prove that any non-amenable locally compact group admits a probabilistic variant of discrete free subgroups. This leads to the “measure-theoretic solution” to the von Neumann problem for locally compact groups. We illustrate the latter result by giving a partial answer to the Dixmier problem for locally compact groups.

Keywords: Amenable group, fixed point theorem, von Neumann problem, Dixmier problem

Class. math. : 47H10, 22D12, 22A05, 43A07, 20E05, 37A20


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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