Nous étudions les propriétés de continuité des données sur les bords homogénéisées $\overline g$ pour des problèmes de Dirichlet avec des données oscillantes. La condition au bord homogénéisée se pose comme la queue de la couche limite d'un problème posé dans un demi-espace. Les propriétés de cette queue de la couche limite en fonction de la direction normale du demi-espace jouent un rôle important dans le processus d'homogénéisation dans des domaines bornés généraux. Nous montrons que, pour un opérateur non-rotation invariant générique et les données au bord, $\overline g$ est discontinu à chaque direction rationnelle. En particulier, cela implique que la condition de continuité de Choi et Kim [16] est essentiellement sharp. D'autre part, lorsque la condition de [16] est satisfaite, nous montrons un module de continuité Hölder pour $\overline g$. Lorsque l'opérateur est linéaire, nous montrons que $\overline g$ est $\frac 1d-$Hölder jusqu'à un facteur logarithmique. Les preuves sont basées sur une nouvelle observation géométrique sur le comportement limite de $\overline g$ dans des directions rationnelles, ce qui réduit à une e de problèmes deux dimensionnelles pour les projections de l'opérateur homogénéisé.