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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 49 (2016)

Parutions < série 4, 49

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 49, fascicule 4 (2016)

Uffe Haagerup, Søren Knudby, Tim de Laat
A complete characterization of connected Lie groups with the Approximation Property
Annales scientifiques de l'ENS 49, fascicule 4 (2016), 927-946

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Résumé :
Une caractérisation complète des groupes de Lie connexes ayant la Propriété d'Approximation
Nous donnons une caractérisation complète des groupes de Lie connexes ayant la propriété d'approximation (AP) pour des groupes. À cette fin, nous introduisons un renforcement de la propriété (T), que nous appelons propriété (T^) et qui est une obstruction naturelle à AP. Dans le but de définir la propriété (T^), nous montrons d'abord que pour tout groupe localement compact G, l'espace M_0A(G) des multiplicateurs complètement bornés de G admet une unique moyenne invariante à gauche m. Un groupe localement compact G a la propriété (T^) si m est une forme continue pour la topologie ^-faible. Après avoir démontré que les groupes SL(3,R), Sp(2,R) et Sp(2,R) ont la propriété (T^), nous étudions la question de savoir lesquels parmi les groupes de Lie connexes ont l'AP. Il se pose alors le problème technique que la partie semi-simple de la décomposition de Levi globale d'un groupe de Lie connexe n'est pas toujours fermée. Grâce à une importante propriété de stabilité de la propriété (T^), ce problème disparaît. Il s'en suit qu'un groupe de Lie connexe a l'AP si et seulement si tous les facteurs simples de la partie semi-simple de sa décomposition de Levi ont un rang réel 0 ou 1. Enfin, nous démontrons que tous les groupes de Lie simples connexes de rang 2 et de centre fini ont la propriété (T^).

Mots-clefs : Propriétés d'approximation, groupes de Lie, propriété (T), moyennes invariantes.

Abstract:
We give a complete characterization of connected Lie groups with the Approximation Property for groups (AP). To this end, we introduce a strengthening of property (T), that we call property (T^), which is a natural obstruction to the AP. In order to define property (T^), we first prove that for every locally compact group G, there exists a unique left invariant mean m on the space M_0A(G) of completely bounded Fourier multipliers of G. A locally compact group G is said to have property (T^) if this mean m is a weak^ continuous functional. After proving that the groups SL(3,R), Sp(2,R), and Sp(2,R) have property (T^), we address the question which connected Lie groups have the AP. A technical problem that arises when considering this question from the point of view of the AP is that the semisimple part of the global Levi decomposition of a connected Lie group need not be closed. Because of an important permanence property of property (T^), this problem vanishes. It follows that a connected Lie group has the AP if and only if all simple factors in the semisimple part of its Levi decomposition have real rank 0 or 1. Finally, we are able to establish property (T^) for all connected simple higher rank Lie groups with finite center.

Keywords: Approximation properties, Lie groups, property (T), invariant means.

Class. math. : 22D25, 46B28.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Akemann, Charles A. and Walter, Martin E.
Unbounded negative definite functions
Canad. J. Math. 33 (1981) 862–871
Math Reviews MR634144 (83b:43009)
2
Bekka, B. and de la Harpe, P. and Valette, Alain
Kazhdan's Property (T)
Cambridge Univ. Press, 2008
3
Borel, Armand and Tits, Jacques
Groupes réductifs
Publ. Math. IHÉS 27 (1965) 55–150
Math Reviews MR0207712 (34 \#7527)
4
Bożejko, M.
Positive and negative definite kernels on discrete groups
(1987) lecture notes at Heidelberg University
5
Bożejko, Marek and Fendler, Gero
Herz-Schur multipliers and completely bounded multipliers of the Fourier algebra of a locally compact group
Boll. Un. Mat. Ital. A 3 (1984) 297–302
Math Reviews MR753889 (86b:43009)
6
Burckel, R. B.
Weakly almost periodic functions on semigroups
Gordon and Breach Science Publishers, 1970
Math Reviews MR0263963 (41 \#8562)
7
De Cannière, Jean and Haagerup, Uffe
Multipliers of the Fourier algebras of some simple Lie groups and their discrete subgroups
Amer. J. Math. 107 (1985) 455–500
Math Reviews MR784292 (86m:43002)
8
Cherix, Pierre-Alain and Cowling, Michael and Jolissaint, Paul and Julg, Pierre and Valette, Alain
Groups with the Haagerup property, Gromov's a-T-menability
Birkhäuser, 2001
Math Reviews MR3309999
9
Cowling, Michael and Dorofaeff, Brian and Seeger, Andreas and Wright, James
A family of singular oscillatory integral operators and failure of weak amenability
Duke Math. J. 127 (2005) 429–486
Math Reviews MR2132866 (2008a:43006)
10
Cowling, Michael and Haagerup, Uffe
Completely bounded multipliers of the Fourier algebra of a simple Lie group of real rank one
Invent. math. 96 (1989) 507–549
Math Reviews MR996553 (90h:22008)
11
Dorofaeff, Brian
Weak amenability and semidirect products in simple Lie groups
Math. Ann. 306 (1996) 737–742
Math Reviews MR1418350 (98c:22005)
12
Eberlein, W. F.
Abstract ergodic theorems and weak almost periodic functions
Trans. Amer. Math. Soc. 67 (1949) 217–240
Math Reviews MR0036455 (12,112a)
13
Effros, Edward G. and Ruan, Zhong-Jin
Operator spaces
The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, 2000
Math Reviews MR1793753 (2002a:46082)
14
Eymard, Pierre
L'algèbre de Fourier d'un groupe localement compact
Bull. Soc. Math. France 92 (1964) 181–236
Math Reviews MR0228628 (37 \#4208)
15
Eymard, Pierre
A survey of Fourier algebras
in Applications of hypergroups and related measure algebras (Seattle, WA, 1993)
Contemp. Math. 183 (1995) 111–128
Math Reviews MR1334774 (96c:43010)
16
Godement, Roger
Les fonctions de type positif et la théorie des groupes
Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948) 1–84
Math Reviews MR0023243 (9,327b)
17
Greenleaf, Frederick P.
Invariant means on topological groups and their applications
Van Nostrand Reinhold Co., 1969
Math Reviews MR0251549 (40 \#4776)
18
Grothendieck, Alexandre
Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires
Mem. Amer. Math. Soc. 16 (1955)
Math Reviews MR0075539 (17,763c)
19
Haagerup, Uffe and Kraus, Jon
Approximation properties for group C*-algebras and group von Neumann algebras
Trans. Amer. Math. Soc. 344 (1994) 667–699
Math Reviews MR1220905 (94k:22008)
20
Haagerup, Uffe and de Laat, Tim
Simple Lie groups without the Approximation Property
Duke Math. J. 162 (2013) 925–964
Math Reviews MR3047470
21
Haagerup, Uffe and de Laat, Tim
Simple Lie groups without the Approximation Property II
Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016) 3777–3809
Math Reviews MR3453357
22
Helgason, Sigurdur
Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces
Academic Press, Inc., 1978
Math Reviews MR514561 (80k:53081)
23
Herz, Carl
Une généralisation de la notion de transformée de Fourier-Stieltjes
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 24 (1974) 145–157
Math Reviews MR0425511 (54 \#13466)
24
Každan, D. A.
On the connection of the dual space of a group with the structure of its closed subgroups
Funkcional. Anal. i Priložen. 1 (1967) 71–74
Math Reviews MR0209390 (35 \#288)
25
Knapp, Anthony W.
Lie groups beyond an introduction
Birkhäuser, 2002
Math Reviews MR1920389 (2003c:22001)
26
Lafforgue, Vincent and de la Salle, Mikael
Noncommutative Lp-spaces without the completely bounded approximation property
Duke Math. J. 160 (2011) 71–116
Math Reviews MR2838352
27
de Leeuw, Karel and Glicksberg, Irving
Almost periodic compactifications
Bull. Amer. Math. Soc. 65 (1959) 134–139
Math Reviews MR0104157 (21 \#2917)
28
de Leeuw, Karel and Glicksberg, Irving
Applications of almost periodic compactifications
Acta Math. 105 (1961) 63–97
Math Reviews MR0131784 (24 \#A1632)
29
Mostow, George Daniel
The extensibility of local Lie groups of transformations and groups on surfaces
Ann. of Math. 52 (1950) 606–636
Math Reviews MR0048464 (14,18d)
30
Pier, Jean-Paul
Amenable locally compact groups
John Wiley Sons, Inc., 1984
Math Reviews MR767264 (86a:43001)
31
Pisier, Gilles
Introduction to operator space theory
Cambridge Univ. Press, 2003
Math Reviews MR2006539 (2004k:46097)
32
Rudin, Walter
Functional analysis
McGraw-Hill, Inc., 1991
Math Reviews MR1157815 (92k:46001)
33
Runde, Volker
Lectures on amenability
Springer, 2002
Math Reviews MR1874893 (2003h:46001)
34
Valette, Alain
Minimal projections, integrable representations and property (T)
Arch. Math. (Basel) 43 (1984) 397–406
Math Reviews MR773186 (86j:22006)
35
Varadarajan, V. S.
Lie groups, Lie algebras, and their representations
Springer, 1984
Math Reviews MR746308 (85e:22001)
36
Veech, William A.
Weakly almost periodic functions on semisimple Lie groups
Monatsh. Math. 88 (1979) 55–68
Math Reviews MR550072 (81b:22012)
37
Xu, Guangwu
Herz-Schur multipliers and weakly almost periodic functions on locally compact groups
Trans. Amer. Math. Soc. 349 (1997) 2525–2536
Math Reviews MR1373647 (97h:43003)