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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 49 (2016)

Parutions < série 4, 49

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 49, fascicule 1 (2016)

Erwan Lanneau, Duc-Manh Nguyen
Complete periodicity of Prym eigenforms
Annales scientifiques de l'ENS 49, fascicule 1 (2016), 87-130

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Résumé :
Complète périodicité des formes propres Prym
Dans cet article nous démontrons plusieurs résultats topologiques sur les formes propres des lieux Prym, formes différentielles abéliennes découvertes par McMullen dans des travaux antérieurs. Nous obtenons une propriété dite de complète périodicité (introduite par Calta), ainsi que de nouvelles familles de surfaces de translation vérifiant la dichotomie topologique de Veech (sans être une surface de Veech) . Comme conséquences nous montrons que l'ensemble limite des groupes de Veech de formes propres de certaines strates en genre 3,4, et 5 est soit vide, soit un point, soit tout le cercle à l'infini. Ceci nous permet de plus de construire de nouveaux exemples de surfaces de translation ayant un groupe de Veech infiniment engendré et de première espèce. Notre preuve repose sur une nouvelle approche de la notion de feuilletage périodique par les involutions linéaires.

Mots-clefs : Multiplication réelle, lieu Prym, surfaces de translation.

Abstract:
This paper deals with Prym eigenforms which are introduced previously by McMullen.We prove several results on the directional flow on those surfaces, related to complete periodicity (introduced by Calta). More precisely we show that any homological direction is algebraically periodic, and any direction of a regular closed geodesic is a completely periodic direction. As a consequence we draw that the limit set of the Veech group of every Prym eigenform in some Prym loci of genus 3,4, and 5 is either empty, one point, or the full circle at infinity. We also construct new examples of translation surfaces satisfying the topological dichotomy (without being lattice surfaces). As a corollary we obtain new translation surfaces whose Veech group is infinitely generated and of the first kind.

Keywords: Real multiplication, Prym locus, translation surface.

Class. math. : 37E05; 37D40


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Arnoux, Pierre
Un invariant pour les échanges d'intervalles et les flots sur les surfaces
thèse de 3e cycle, Université de Reims (1981)
2
Avila, Artur and Resende, Maria João
Exponential mixing for the Teichmüller flow in the space of quadratic differentials
Comment. Math. Helv. 87 (2012) 589–638
Math Reviews MR2980521
3
Boissy, Corentin and Lanneau, Erwan
Dynamics and geometry of the Rauzy-Veech induction for quadratic differentials
Ergodic Theory Dynam. Systems 29 (2009) 767–816
Math Reviews MR2505317 (2010g:37050)
4
Boshernitzan, Michael D.
Rank two interval exchange transformations
Ergodic Theory Dynam. Systems 8 (1988) 379–394
Math Reviews MR961737 (90c:28024)
5
Calta, Kariane
Veech surfaces and complete periodicity in genus two
J. Amer. Math. Soc. 17 (2004) 871–908
Math Reviews MR2083470 (2005j:37040)
6
Calta, Kariane and Smillie, John
Algebraically periodic translation surfaces
J. Mod. Dyn. 2 (2008) 209–248
Math Reviews MR2383267 (2010d:37075)
7
Cheung, Yitwah and Hubert, Pascal and Masur, Howard
Topological dichotomy and strict ergodicity for translation surfaces
Ergodic Theory Dynam. Systems 28 (2008) 1729–1748
Math Reviews MR2465598 (2010i:32009)
8
Cheung, Yitwah and Masur, Howard
Minimal non-ergodic directions on genus-2 translation surfaces
Ergodic Theory Dynam. Systems 26 (2006) 341–351
Math Reviews MR2218764 (2007d:37047)
9
Danthony, Claude and Nogueira, Arnaldo
Involutions linéaires et feuilletages mesurés
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 307 (1988) 409–412
Math Reviews MR965808 (89k:57020)
10
11
12
Eskin, Alex and Masur, Howard and Zorich, Anton
Moduli spaces of abelian differentials: the principal boundary, counting problems, and the Siegel-Veech constants
Publ. Math. IHÉS 97 (2003) 61–179
Math Reviews MR2010740 (2005b:32029)
13
Gutkin, Eugene and Hubert, Pascal and Schmidt, Thomas A.
Affine diffeomorphisms of translation surfaces: periodic points, Fuchsian groups, and arithmeticity
Ann. Sci. École Norm. Sup. 36 (2003) 847–866 (2004)
Math Reviews MR2032528 (2004m:37042)
14
Hubert, Pascal and Schmidt, Thomas A.
Infinitely generated Veech groups
Duke Math. J. 123 (2004) 49–69
Math Reviews MR2060022 (2005c:30042)
15
Katok, Svetlana
Fuchsian groups
University of Chicago Press, Chicago, IL, 1992
Math Reviews MR1177168 (93d:20088)
16
Kenyon, Richard and Smillie, John
Billiards on rational-angled triangles
Comment. Math. Helv. 75 (2000) 65–108
Math Reviews MR1760496 (2001e:37046)
17
Kontsevich, Maxim and Zorich, Anton
Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities
Invent. math. 153 (2003) 631–678
Math Reviews MR2000471 (2005b:32030)
18
Lanneau, Erwan
Hyperelliptic components of the moduli spaces of quadratic differentials with prescribed singularities
Comment. Math. Helv. 79 (2004) 471–501
Math Reviews MR2081723 (2005g:32015)
19
20
21
22
Marmi, S. and Moussa, P. and Yoccoz, J.-C.
The cohomological equation for Roth-type interval exchange maps
J. Amer. Math. Soc. 18 (2005) 823–872
Math Reviews MR2163864 (2006f:37006)
23
Masur, Howard
Interval exchange transformations and measured foliations
Ann. of Math. 115 (1982) 169–200
Math Reviews MR644018 (83e:28012)
24
Masur, Howard
Closed trajectories for quadratic differentials with an application to billiards
Duke Math. J. 53 (1986) 307–314
Math Reviews MR850537 (87j:30107)
25
Masur, Howard and Zorich, Anton
Multiple saddle connections on flat surfaces and the principal boundary of the moduli spaces of quadratic differentials
Geom. Funct. Anal. 18 (2008) 919–987
Math Reviews MR2439000 (2010e:32012)
26
McMullen, Curtis T.
Billiards and Teichmüller curves on Hilbert modular surfaces
J. Amer. Math. Soc. 16 (2003) 857–885
Math Reviews MR1992827 (2004f:32015)
27
McMullen, Curtis T.
Teichmüller geodesics of infinite complexity
Acta Math. 191 (2003) 191–223
Math Reviews MR2051398 (2005e:32025)
28
McMullen, Curtis T.
Prym varieties and Teichmüller curves
Duke Math. J. 133 (2006) 569–590
Math Reviews MR2228463 (2007a:32018)
29
McMullen, Curtis T.
Dynamics of SL_2(R) over moduli space in genus two
Ann. of Math. 165 (2007) 397–456
Math Reviews MR2299738 (2008k:32035)
30
Minsky, Yair and Weiss, Barak
Cohomology classes represented by measured foliations, and Mahler's question for interval exchanges
Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 47 (2014) 245–284
Math Reviews MR3215923
31
Möller, Martin
Variations of Hodge structures of a Teichmüller curve
J. Amer. Math. Soc. 19 (2006) 327–344
Math Reviews MR2188128 (2007b:32026)
32
Nguyen, Duc-Manh
Parallelogram decompositions and generic surfaces in H^hyp(4)
Geom. Topol. 15 (2011) 1707–1747
Math Reviews MR2851075 (2012k:37077)
33
Nguyen, Duc-Manh and Wright, Alex
Non-Veech surfaces in Hhyp(4) are generic
Geom. Funct. Anal. 24 (2014) 1316–1335
Math Reviews MR3248487
34
Sah, Chih Han
Scissors congruences. I. The Gauss-Bonnet map
Math. Scand. 49 (1981) 181–210 (1982)
Math Reviews MR661890 (84b:53062a)
35
Smillie, John and Weiss, Barak
Finiteness results for flat surfaces: a survey and problem list
in Partially hyperbolic dynamics, laminations, and Teichmüller flow
Fields Inst. Commun. 51 (2007) 125–137
Math Reviews MR2388694 (2009a:57031)
36
Smillie, John and Weiss, Barak
Characterizations of lattice surfaces
Invent. math. 180 (2010) 535–557
Math Reviews MR2609249 (2012c:37072)
37
38
Thurston, William P.
On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces
Bull. Amer. Math. Soc. 19 (1988) 417–431
Math Reviews MR956596 (89k:57023)
39
Veech, William A.
Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps
Ann. of Math. 115 (1982) 201–242
Math Reviews MR644019 (83g:28036b)
40
Veech, William A.
Teichmüller curves in moduli space, Eisenstein series and an application to triangular billiards
Invent. math. 97 (1989) 553–583
Math Reviews MR1005006 (91h:58083a)
41
Wright, Alex
Cylinder deformations in orbit closures of translation surfaces
Geom. Topol. 19 (2015) 413–438
Math Reviews MR3318755
42
Zorich, Anton
Flat surfaces
in Frontiers in number theory, physics, and geometry. I
(2006) 437–583
Math Reviews MR2261104 (2007i:37070)