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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 49 (2016)

Parutions < série 4, 49

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 49, fascicule 4 (2016)

Philipp Habegger, Jonathan Pila
O-minimality and certain atypical intersections
Annales scientifiques de l'ENS 49, fascicule 4 (2016), 813-858

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Résumé :
o-minimalité et certaines intersections atypiques
On démontre que la stratégie de comptage dans des structures o-minimales est suffisante pour traiter plusieurs problèmes qui vont au-delà des conjectures de Manin-Mumford et André-Oort. On vérifie la conjecture de Zilber-Pink pour un produit de courbes modulaires en supposant une minoration assez forte pour la taille de l'orbite de Galois et en supposant une version modulaire du théorème de Ax-Schanuel. Dans le cas des variétés abéliennes, on démontre la conjecture de Zilber-Pink pour les courbes si tous les objets sont définis sur un corps de nombres. Pour les sous-variétés de dimension supérieure, on obtient quelques résultats plus faibles et quelques résultats conditionnels.

Mots-clefs : Conjecture de Zilber-Pink, intersections exceptionnelles, o-minimalité.

Abstract:
We show that the strategy of point counting in o-minimal structures can be applied to various problems on unlikely intersections that go beyond the conjectures of Manin-Mumford and André-Oort. We verify the so-called Zilber-Pink Conjecture in a product of modular curves on assuming a lower bound for Galois orbits and a sufficiently strong modular Ax-Schanuel Conjecture. In the context of abelian varieties we obtain the Zilber-Pink Conjecture for curves unconditionally when everything is defined over a number field. For higher dimensional subvarieties of abelian varieties we obtain some weaker results and some conditional results.

Keywords: Zilber-Pink conjecture, unlikely intersections, o-minimality.

Class. math. : 11G10, 11G18; 03C64, 11G50, 14K12, 14G35, 14G40.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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