Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.234.0.2
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 49 (2016)

Parutions < série 4, 49

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 49, fascicule 2 (2016)

Jean-Louis Colliot-Thélène, Alena Pirutka
Hypersurfaces quartiques de dimension 3 : non-rationalité stable
Annales scientifiques de l'ENS 49, fascicule 2 (2016), 371-397

Télécharger cet article : Fichier PDF

Résumé :
Inspirés par un argument de C. Voisin, nous montrons l'existence d'hypersurfaces quartiques lisses de dimension 3 sur les complexes qui ne sont pas stablement rationnelles, plus précisément dont le groupe de Chow de degré zéro n'est pas universellement égal à Z. La méthode de spécialisation adoptée ici permet de construire des exemples définis sur un corps de nombres.

Mots-clefs : Rationalité stable, solides quartiques, spécialisation, groupe de Chow des zéro-cycles, correspondances, groupe de Brauer.

Abstract:
Quartic threefolds: Stable non-rationality
There are (many) smooth quartic threefolds over the complex field which are not stably rational. More precisely, their degree zero Chow group is not universally equal to Z. The proof uses a variation of a method due to C. Voisin. The specialisation argument we use yields examples defined over a number field.

Keywords: Stable rationality, quartic threefolds, specialization, Chow group of zero-cycles, correspondances, groupe de Brauer.

Class. math. : 14M20, 14E08, 14D06, 14C15.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Artin, M. and Mumford, D.
Some elementary examples of unirational varieties which are not rational
Proc. London Math. Soc. 25 (1972) 75–95
Math Reviews MR0321934 (48 \#299)
2
Bourbaki, Nicolas
Algèbre commutative, chapitres 8 et 9
Springer, 2006
3
Colliot-Thélène, Jean-Louis
Un théorème de finitude pour le groupe de Chow des zéro-cycles d'un groupe algébrique linéaire sur un corps p-adique
Invent. math. 159 (2005) 589–606
Math Reviews MR2125734 (2005m:14009)
4
5
Colliot-Thélène, Jean-Louis and Ojanguren, Manuel
Variétés unirationnelles non rationnelles: au-delà de l'exemple d'Artin et Mumford
Invent. math. 97 (1989) 141–158
Math Reviews MR999316 (90m:14012)
6
Colliot-Thélène, Jean-Louis and Sansuc, Jean-Jacques
La R-équivalence sur les tores
Ann. Sci. École Norm. Sup. 10 (1977) 175–229
Math Reviews MR0450280 (56 \#8576)
7
Deligne, P.
Cohomologie étale
Springer, Berlin-New York, 1977 Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie SGA 4 1/2
Math Reviews MR0463174 (57 \#3132)
8
Esnault, H. and Wittenberg, O.
On the cycle class map for zero-cycles over local fields
Ann. Sc. Éc. Norm. Sup. 49 (2016) 481–518
9
Fulton, William
Rational equivalence on singular varieties
Publ. Math. IHÉS 45 (1975) 147–167
Math Reviews MR0404257 (53 \#8060)
10
Fulton, William
Intersection theory
Springer, Berlin, 1998
Math Reviews MR1644323 (99d:14003)
11
Gabber, Ofer and Liu, Qing and Lorenzini, Dino
The index of an algebraic variety
Invent. math. 192 (2013) 567–626
Math Reviews MR3049930
12
Grothendieck, Alexandre
Le groupe de Brauer I, II, III
in Dix exposés sur la cohomologie des schémas
(1968)
13
14
Iskovskikh, V. A. and Manin, Yu. I.
Quartiques de dimension trois et contre-exemples au problème de Lüroth
Mat. Sb. 86 (1671) 140–166 (en russe)
15
Karpenko, Nikita A. and Merkurjev, Alexander S.
On standard norm varieties
Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 46 (2013) 175–214 (2013)
Math Reviews MR3087392
16
Kleiman, Steven L.
The Picard scheme
in Fundamental algebraic geometry
Math. Surveys Monogr. 123 (2005) 235–321
Math Reviews MR2223410
17
Kollár, János
Rational curves on algebraic varieties
Springer, Berlin, 1996
Math Reviews MR1440180 (98c:14001)
18
19
Madore, David A.
Équivalence rationnelle sur les hypersurfaces cubiques de mauvaise réduction
J. Number Theory 128 (2008) 926–944
Math Reviews MR2400051 (2009c:14016)
20
Merkurjev, Alexander
Unramified elements in cycle modules
J. Lond. Math. Soc. 78 (2008) 51–64
Math Reviews MR2427051 (2009i:14008)
21
Rost, Markus
Chow groups with coefficients
Doc. Math. 1 (1996) No. 16, 319–393
Math Reviews MR1418952 (98a:14006)
22
Serre, Jean-Pierre
Corps locaux
Hermann, Paris, 1968
Math Reviews MR0354618 (50 \#7096)
23
Spanier, Edwin H.
Algebraic topology
Springer, New York, 1966 corrected reprint of the 1966 original
Math Reviews MR1325242 (96a:55001)
24
Voisin, Claire
Unirational threefolds with no universal codimension 2 cycle
Invent. math. 201 (2015) 207–237
Math Reviews MR3359052
25
Grothendieck, Alexandre
Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III
Publ. Math. IHÉS 28 (1966) 255
Math Reviews MR0217086 (36 \#178)