Nous utilisons le lien entre les volumes des strates de différentielles méromorphes quadratiques avec des pôles simples sur ${\mathbb C}\mathrm {P}^1$ et les fonctions de comptage du nombre de (cylindres de) géodésiques fermées simples pour la métrique plate associée afin de démontrer une formule très explicite pour le volume des strates, conjecturée par M. Kontsevich il y a une décennie. En appliquant des techniques ergodiques au flot géodésique de Teichmüller nous obtenons une asymptotique quadratique pour le nombre de (bandes de) trajectoires fermées et le nombre de diagonales généralisées dans presque tout billard à angles « droits ».