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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 49 (2016)

Parutions < série 4, 49

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 49, fascicule 6 (2016)

Jérémie Szeftel
Sharp Strichartz estimates for the wave equation on a rough background
Annales scientifiques de l'ENS 49, fascicule 6 (2016), 1279-1309

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Résumé :
Estimations de Strichartz optimales pour l'équation des ondes dans une métrique peu régulière
Dans cet article, nous obtenons des estimations de Strichartz optimales pour les solutions de l'équation des ondes _g =0g est une métrique lorentzienne peu régulière sur un espace-temps M de dimension 4. Il s'agit de la dernière étape de la preuve de la conjecture de courbure L^2 proposée dans [3], et résolue par S. Klainerman, I. Rodnianski et l'auteur dans [8], qui repose également sur la série d'articles [16] [17] [18] [19]. De telles estimations sont au cœur de la théorie de l'existence locale pour les équations d'ondes non linéaires en faible régularité. La difficulté est intimement liée à la régularité de l'équation eikonale g ^_u_u=0 pour une métrique peu régulière g. Avec pour but final la preuve de la conjecture de courbure L^2, nous prouvons des estimations de Strichartz pour toutes les paires admissibles sous des hypothèses minimales de régularité pour l'équation eikonale.

Mots-clefs : Estimations de Strichartz, équation des ondes, métrique peu régulière.

Abstract:
In this paper, we obtain sharp Strichartz estimates for solutions of the wave equation _g =0 where g is a rough Lorentzian metric on a 4 dimensional space-time M. This is the last step of the proof of the bounded L^2 curvature conjecture proposed in [3], and solved by S. Klainerman, I. Rodnianski and the author in [8], which also relies on the sequence of papers [16] [17] [18] [19]. Obtaining such estimates is at the core of the low regularity well-posedness theory for quasilinear wave equations. The difficulty is intimately connected to the regularity of the eikonal equation g ^_u_u=0 for a rough metric g. In order to be consistent with the final goal of proving the bounded L^2 curvature conjecture, we prove Strichartz estimates for all admissible Strichartz pairs under minimal regularity assumptions on the solutions of the eikonal equation.

Keywords: Strichartz estimates, wave equation, rough metric.

Class. math. : 35L05


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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Strichartz estimates for second order hyperbolic operators with nonsmooth coefficients. III
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