Nous montrons que l'horofrontière de l'outre-espace pour la distance de Lipschitz est un quotient de la frontière ique de Culler et Morgan, dans laquelle deux arbres sont identifiés lorsque leurs fonctions-longueurs de translation sont homothétiques en restriction aux éléments primitifs de $F_N$. Nous identifions l'ensemble des points de Busemann à l'ensemble des arbres à orbites denses. Nous étudions également quelques propriétés de l'horofrontière de l'outre-espace pour la distance de Lipschitz inversée, et montrons en particulier que celle-ci est de dimension topologique infinie dès que $N\ge 3$. Nous utilisons ensuite notre description de l'horofrontière de l'outre-espace pour montrer un analogue d'un théorème de Furstenberg et Kifer [?] et Hennion [?] pour les produits aléatoires d'automorphismes extérieurs de $F_N$, estimant les taux de croissance possibles des es de conjugaison d'éléments de $F_N$ sous l'action de tels produits.