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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 49 (2016)

Parutions < série 4, 49

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 49, fascicule 5 (2016)

Camille Horbez
The horoboundary of outer space, and growth under random automorphisms
Annales scientifiques de l'ENS 49, fascicule 5 (2016), 1075-1123

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Résumé :
L'horofrontière de l'outre-espace et la croissance sous l'action d'automorphismes aléatoires
Nous montrons que l'horofrontière de l'outre-espace pour la distance de Lipschitz est un quotient de la frontière classique de Culler et Morgan, dans laquelle deux arbres sont identifiés lorsque leurs fonctions-longueurs de translation sont homothétiques en restriction aux éléments primitifs de F_N. Nous identifions l'ensemble des points de Busemann à l'ensemble des arbres à orbites denses. Nous étudions également quelques propriétés de l'horofrontière de l'outre-espace pour la distance de Lipschitz inversée, et montrons en particulier que celle-ci est de dimension topologique infinie dès que N3. Nous utilisons ensuite notre description de l'horofrontière de l'outre-espace pour montrer un analogue d'un théorème de Furstenberg et Kifer [20] et Hennion [32] pour les produits aléatoires d'automorphismes extérieurs de F_N, estimant les taux de croissance possibles des classes de conjugaison d'éléments de F_N sous l'action de tels produits.

Mots-clefs : Out(F_N), Outre espace, horofrontière, croissance, marches aléatoires.

Abstract:
We show that the horoboundary of outer space for the Lipschitz metric is a quotient of Culler and Morgan's classical boundary, two trees being identified whenever their translation length functions are homothetic in restriction to the set of primitive elements of F_N. We identify the set of Busemann points with the set of trees with dense orbits. We also investigate a few properties of the horoboundary of outer space for the backward Lipschitz metric, and show in particular that it is infinite-dimensional when N3. We then use our description of the horoboundary of outer space to derive an analogue of a theorem of Furstenberg and Kifer [20] and Hennion [32] for random products of outer automorphisms of F_N, that estimates possible growth rates of conjugacy classes of elements of F_N under such products.

Keywords: Out(F_N), Outer space, horoboundary, growth, random walks.

Class. math. : 20F65, 20E08, 20E36, 60B15.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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