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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 49 (2016)

Parutions < série 4, 49

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 49, fascicule 1 (2016)

Jeffrey Danciger, François Guéritaud, Fanny Kassel
Geometry and topology of complete Lorentz spacetimes of constant curvature
Annales scientifiques de l'ENS 49, fascicule 1 (2016), 1-56

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Résumé :
Géométrie et topologie des espaces-temps lorentziens complets à courbure constante
Nous étudions les actions propres, par isométries, de groupes discrets non virtuellement résolubles sur l'espace de Minkowski R ^2,1, en les voyant comme limites d'actions sur l'espace anti-de Sitter AdS^3. À une telle action sur R ^2,1 est associée une déformation infinitésimale, dans SO (2,1), du groupe fondamental d'une surface hyperbolique S. Lorsque S est convexe cocompacte, nous montrons que agit proprement sur R ^2,1 si et seulement si cette déformation au niveau du groupe est réalisée par une déformation de S qui contracte uniformément ou dilate uniformément toutes les distances. Nous donnons deux applications dans ce cas. (1) Sagesse topologique : un espace-temps plat complet est homéomorphe à l'intérieur d'une variété compacte à bord. (2) Transition géométrique : un espace-temps plat complet est la limite renormalisée d'espaces-temps AdS qui dégénèrent.

Mots-clefs : Géométrie lorentzienne, variétés anti-de Sitter, espaces-temps de Margulis, géométrie affine, sagesse topologique, transition géométrique

Abstract:
We study proper, isometric actions of non virtually solvable discrete groups  on the 3-dimensional Minkowski space R ^2,1, viewing them as limits of actions on the 3-dimensional anti-de Sitter space AdS^3. To each such action on R ^2,1 is associated an infinitesimal deformation, inside SO (2,1), of the fundamental group of a hyperbolic surface S. When S is convex cocompact, we prove that acts properly on R ^2,1 if and only if this group-level deformation is realized by a deformation of S that uniformly contracts or uniformly expands all distances. We give two applications in this case. (1) Tameness: A complete flat spacetime is homeomorphic to the interior of a compact manifold with boundary. (2) Geometric transition: A complete flat spacetime is the rescaled limit of collapsing AdS spacetimes.

Keywords: Lorentzian geometry, anti-de Sitter manifolds, Margulis spacetimes, affine geometry, topological tameness, geometric transition.

Class. math. : 20H10, 53C50, 57M50, 57M60


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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