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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 48 (2015)

Parutions < série 4, 48

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 48, fascicule 3 (2015)

Valentin Blomer, Djordje Milićević
p-adic analytic twists and strong subconvexity
Annales scientifiques de l'ENS 48, fascicule 3 (2015), 561-605

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Résumé :
Twists p-adiques analytiques et sous-convexité forte
Soit f une forme primitive nouvelle (holomorphe ou de Maass). Soient p un nombre premier, n1 un entier, et t un nombre réel. Nous démontrons une borne sous-convexe de type Weyl pour la fonction L de f, tordue par un caractère de Dirichlet de conducteur q=p^n. Plus précisément, on démontre L(f,1/2+it)_p,t q^1/3+, avec une dépendance polynomiale et explicite en p et t. La preuve repose sur la compensation entre les valeurs propres de Hecke de f et les valeurs de , dont l'oscillation est gouvernée par une phase p-adique analytique. Au cours de la démonstration, on développe quelques outils p-adiques, analogues de méthodes classiques ou archimédiennes, telles que la dissection de Farey et la méthode de van der Corput pour les sommes d'exponentielles.

Mots-clefs : Sous-convexité, fonctions L, torsion par des caractères, sommes de caractères, sommes exponentielles, phase stationnaire, analyse p-adique.

Abstract:
Let f be a fixed cuspidal (holomorphic or Maaß) newform. We prove a Weyl-exponent subconvexity bound L(f,1/2+it)_p,tq^1/3+ for the twisted L-function of f with a Dirichlet character of prime power conductor q=p^n (with an explicit polynomial dependence on p and t). We obtain our result by exhibiting strong cancellation between the Hecke eigenvalues of f and the values of , which act as twists by exponentials with a p-adically analytic phase. Among the tools, we develop a general result on p-adic approximation by rationals (a p-adic counterpart to Farey dissection) and a p-adic version of van der Corput's method for exponential sums.

Keywords: Subconvexity, L-functions, character twists, depth aspect, character sums, exponential sums, method of stationary phase, p-adic analysis.

Class. math. : 11F66, 11L40, 11L07


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Barban, M. B. and Linnik, Yu. V. and Tshudakov, N. G.
On prime numbers in an arithmetic progression with a prime-power difference
Acta Arith. 9 (1964) 375–390
Math Reviews MR0171766 (30 \#1993)
2
Blomer, Valentin and Harcos, Gergely
Hybrid bounds for twisted L-functions
J. reine angew. Math. 621 (2008) 53–79 addendum: J. reine angew. Math. 694 (2014), 241–244
Math Reviews MR2431250 (2009e:11094)
3
Blomer, Valentin and Khan, Rizwanur and Young, Matthew
Distribution of mass of holomorphic cusp forms
Duke Math. J. 162 (2013) 2609–2644
Math Reviews MR3127809
4
Blomer, Valentin and Michel, Philippe
Hybrid bounds for automorphic forms on ellipsoids over number fields
J. Inst. Math. Jussieu 12 (2013) 727–758
Math Reviews MR3103131
5
Blomer, Valentin and Milićević, Djordje
Kloosterman sums in residue classes
J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 17 (2015) 51–69
Math Reviews MR3312403
6
Blomer, Valentin and Milićević, Djordje
The Second Moment of Twisted Modular L-Functions
Geom. Funct. Anal. 25 (2015) 453–516
Math Reviews MR3334233
7
Breuillard, E. and Gelander, T.
A topological Tits alternative
Ann. of Math. 166 (2007) 427–474
Math Reviews MR2373146 (2009a:20077)
8
Burgess, D. A.
On character sums and L-series. II
Proc. London Math. Soc. 13 (1963) 524–536
Math Reviews MR0148626 (26 \#6133)
9
Bykovski, V. A.
A trace formula for the scalar product of Hecke series and its applications
Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 226 (1996) 14–36 ; English translation: J. Math. Sci. (New York) 89 (1998), 915–932
Math Reviews MR1433344 (97k:11067)
10
Chambert-Loir, Antoine and Tschinkel, Yuri
Integral points of bounded height on partial equivariant compactifications of vector groups
Duke Math. J. 161 (2012) 2799–2836
Math Reviews MR2999313
11
Cluckers, Raf
Analytic van der Corput lemma for p-adic and <b>F</b>q((t)) oscillatory integrals, singular Fourier transforms, and restriction theorems
Expo. Math. 29 (2011) 371–386
Math Reviews MR2861764 (2012m:42016)
12
Conrey, J. B. and Iwaniec, Henryk
The cubic moment of central values of automorphic L-functions
Ann. of Math. 151 (2000) 1175–1216
Math Reviews MR1779567 (2001g:11070)
13
Fouvry, Étienne and Kowalski, Emmanuel and Michel, Philippe
Algebraic twists of modular forms and Hecke orbits
Geom. Funct. Anal. 25 (2015) 580–657
Math Reviews MR3334236
14
Fouvry, Étienne and Kowalski, Emmanuel and Michel, Philippe
Algebraic trace functions over the primes
Duke Math. J. 163 (2014) 1683–1736
Math Reviews MR3217765
15
Harcos, Gergely and Templier, Nicolas
On the sup-norm of Maass cusp forms of large level. III
Math. Ann. 356 (2013) 209–216
Math Reviews MR3038127
16
Good, Anton
The square mean of Dirichlet series associated with cusp forms
Mathematika 29 (1982) 278–295
Math Reviews MR696884 (84f:10036)
17
Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M.
Table of integrals, series, and products
Academic Press, Inc., San Diego, CA, 2000
Math Reviews MR1773820 (2001c:00002)
18
Graham, S. W. and Kolesnik, G.
van der Corput's method of exponential sums
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991
Math Reviews MR1145488 (92k:11082)
19
Heath-Brown, D. R.
Hybrid bounds for Dirichlet L-functions
Invent. Math. 47 (1978) 149–170
Math Reviews MR0485727 (58 \#5549)
20
Harcos, Gergely and Michel, Philippe
The subconvexity problem for Rankin-Selberg L-functions and equidistribution of Heegner points. II
Invent. Math. 163 (2006) 581–655
Math Reviews MR2207235 (2007j:11063)
21
Iwaniec, Henryk
Topics in classical automorphic forms
Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997
Math Reviews MR1474964 (98e:11051)
22
Iwaniec, Henryk and Kowalski, Emmanuel
Analytic number theory
Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004
Math Reviews MR2061214 (2005h:11005)
23
Jutila, Matti
Lectures on a method in the theory of exponential sums
Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1987
Math Reviews MR910497 (89g:11069)
24
Jutila, Matti and Motohashi, Yoichi
Uniform bound for Hecke L-functions
Acta Math. 195 (2005) 61–115
Math Reviews MR2233686 (2007d:11051)
25
Kowalski, Emmanuel and Michel, Philippe and VanderKam, J.
Rankin-Selberg L-functions in the level aspect
Duke Math. J. 114 (2002) 123–191
Math Reviews MR1915038 (2004c:11070)
26
Landau, Edmund
Über die -Funktion und die L-Funktionen
Math. Z. 20 (1924) 105–125
Math Reviews MR1544665
27
Littlewood, J. E.
Researches in the theory of the Riemann -function
Proc. Lond. Math. Soc. 20 (1922) xxiv
28
Meurman, Tom
On the order of the Maass L-function on the critical line
in Number theory, Vol.I (Budapest, 1987)
Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51 (1990) 325–354
Math Reviews MR1058223 (91m:11037)
29
30
Munshi, Ritabrata
Bounds for twisted symmetric square L-functions—III
Adv. Math. 235 (2013) 74–91
Math Reviews MR3010051
31
Venkatesh, Akshay
Sparse equidistribution problems, period bounds and subconvexity
Ann. of Math. 172 (2010) 989–1094
Math Reviews MR2680486 (2012k:11061)
32
Vishe, Pankaj
A fast algorithm to compute L(1/2,fq)
J. Number Theory 133 (2013) 1502–1524
Math Reviews MR3007119
33
Weyl, Hermann
Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins
Math. Ann. 77 (1916) 313–352
Math Reviews MR1511862