Considérons un fibré holomorphe en droites $L$ muni d'une métrique singulière $h$ au-dessus d'une variété complexe $X$. Soit $\gamma _p$ le courant de Fubini-Study associé naturellement à l'espace des sections holomorphes de carré intégrable de $L^{\otimes p}$. En supposant que le lieu singulier de la métrique $h$ est contenu dans un ensemble analytique compact $\Sigma \subset X$ tel que $\operatorname {codim} \Sigma \geq k$ et que le logarithme du noyau de Bergman associé à $L^{\otimes p}| _{{X\setminus \Sigma }}$ a l'ordre de croissance $o(p)$, $p\to \infty $, nous prouvons que : 1) Les courants $\gamma _p^k$ convergent faiblement sur $X$ vers $c_1(L,h)^k$, où $c_1(L,h)$ est le courant de courbure de $h$. 2) Les moyennes des zéros communs d'un $k$-vecteur aléatoire de sections holomphes $L^2$-intégrables convergent faiblement dans le sens des courants vers $c_1(L,h)^k$. L'hypothèse de croissance du noyau de Bergman est la conséquence de son développement asymptotique dans le cas d'une métrique lisse $h$. Nous la démontrons ici sous des conditions assez générales. Nous montrons ensuite que nos résultats s'appliquent à nombre de situations géométriques (métriques singulières sur un fibré gros, métriques de Kähler-Einstein sur des ouverts de Zariski, quotients arithmétiques...).