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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 48 (2015)

Parutions < série 4, 48

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 48, fascicule 6 (2015)

Valeria Banica, Luis Vega
The initial value problem for the Binormal Flow with rough data
Annales scientifiques de l'ENS 48, fascicule 6 (2015), 1423-1455

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Résumé :
Évolution par le flot binormal de courbes à un coin
Dans cet article on considère le flot binormal avec données initiales des courbes régulières partout sauf en un point où elles ont un coin. On montre sous des conditions appropriées sur la donnée initiale qu'il existe une unique solution régulière pour des temps strictement positifs et négatifs. De plus, cette solution satisfait le flot binormal en un sens faible et peut être vue comme une perturbation d'une solution auto-similaire bien choisie. Réciproquement, on montre aussi que si à temps t=1 on prend comme donnée initiale une petite perturbation régulière d'une solution auto-similaire, alors il existe une unique solution, qui à temps t=0 est régulière partout sauf en un point où elle a un coin de même angle que celui formé par la solution auto-similaire. Cette solution peut être prolongée aux temps négatifs. La preuve s'appuie sur les résultats des articles précédents [Gutiérrez et al., Comm. Partial Differential Equations 28 (2003)], [Banica & Vega, Comm. Math. Phys. 286 (2009)], [Banica & Vega, J. Eur. Math. Soc. 14 (2012)] et [Banica & Vega, Arch. Ration. Mech. Anal. 210 (2013)] sur l'étude des petites perturbations des solutions auto-similaires. Un argument de compacité est utilisé pour éviter les conditions à poids imposées dans [Banica & Vega, Arch. Ration. Mech. Anal. 210 (2013)], ainsi qu'une analyse plus raffinée des asymptotiques en temps et en espace des vecteurs tangents et normaux.

Mots-clefs : Tourbillons filamentaires, flot binormal, données singulières, équations de Schrödinger non-linéaires, solutions autosimilaires, diffusion.

Abstract:
In this article we consider the initial value problem of the binormal flow with initial data given by curves that are regular except at one point where they have a corner. We prove that under suitable conditions on the initial data a unique regular solution exists for strictly positive and strictly negative times. Moreover, this solution satisfies a weak version of the equation for all times and can be seen as a perturbation of a suitably chosen self-similar solution. Conversely, we also prove that if at time t=1 a small regular perturbation of a self-similar solution is taken as initial condition then there exists a unique solution that at time t=0 is regular except at a point where it has a corner with the same angle as the one of the self-similar solution. This solution can be extended for negative times. The proof uses the full strength of the previous papers [Gutiérrez et al., Comm. Partial Differential Equations 28 (2003)], [Banica & Vega, Comm. Math. Phys. 286 (2009)], [Banica & Vega, J. Eur. Math. Soc. 14 (2012)] and [Banica & Vega, Arch. Ration. Mech. Anal. 210 (2013)] on the study of small perturbations of self-similar solutions. A compactness argument is used to avoid the weighted conditions we needed in [Banica & Vega, Arch. Ration. Mech. Anal. 210 (2013)], as well as a more refined analysis of the asymptotic in time and in space of the tangent and normal vectors.

Keywords: Vortex filaments, binormal flow, singular data, nonlinear Schrödinger equations, selfsimilar solutions, scattering.

Class. math. : 35Q35, 35Q55, 35BXX.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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