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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 47 (2014)

Parutions < série 4, 47

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 47, fascicule 4 (2014)

Yonatan Harpaz, Alexei N. Skorobogatov
Singular curves and the étale Brauer-Manin obstruction for surfaces
Annales scientifiques de l'ENS 47, fascicule 4 (2014), 765-778

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Résumé :
Courbes singulières et obstruction de Brauer-Manin étale pour les surfaces
Nous présentons une construction élémentaire d'une surface lisse et projective sur un corps de nombres quelconque k qui constitue un contre-exemple au principe de Hasse et possède l'ensemble de Brauer-Manin infini. La surface est munie d'un morphisme surjectif vers une courbe avec un seul k-point tel que l'unique fibre rationnelle, qui géométriquement est l'union de droites projectives, a un point adélique et le groupe de Brauer trivial, mais pas de k-points.

Mots-clefs : principe de Hasse, approximation faible, obstruction de Brauer-Manin.

Abstract:
We give an elementary construction of a smooth and projective surface over an arbitrary number field k that is a counterexample to the Hasse principle but has infinite étale Brauer-Manin set. Our surface has a surjective morphism to a curve with exactly one k-point such that the unique k-fibre is geometrically a union of projective lines with an adelic point and the trivial Brauer group, but no k-point.

Keywords: Hasse principle, weak approximation, Brauer-Manin obstruction.

Class. math. : 11G35, 14F22


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Basile, Carmen Laura and Skorobogatov, Alexei
On the Hasse principle for bielliptic surfaces
in Number theory and algebraic geometry
London Math. Soc. Lecture Note Ser. 303 (2003) 31–40
Math Reviews MR2053453 (2005e:14056)
2
Bosch, Siegfried and Lütkebohmert, Werner and Raynaud, Michel
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Springer, Berlin, 1990
Math Reviews MR1045822 (91i:14034)
4
Harari, David
Weak approximation and non-abelian fundamental groups
Ann. Sci. École Norm. Sup. 33 (2000) 467–484
Math Reviews MR1832820 (2002e:14034)
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Harari, David
Groupes algébriques et points rationnels
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Math Reviews MR1905103 (2003e:14038)
Zentralblatt 812.12002
6
7
Grothendieck, Alexander
Le groupe de Brauer
in Dix exposés sur la cohomologie des schémas
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Math Reviews MR0244269 (39 \#5586a)
8
Ferrand, Daniel
Conducteur, descente et pincement
Bull. Soc. Math. France 131 (2003) 553–585
Math Reviews MR2044495 (2005a:13016)
9
Liu, Qing
Algebraic geometry and arithmetic curves
Oxford Univ. Press, Oxford, 2002
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10
Manin, Y. I.
Le groupe de Brauer-Grothendieck en géométrie diophantienne
in Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome 1
(1971) 401–411
Math Reviews MR0427322 (55 \#356)
11
Milne, James S.
Étale cohomology
Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1980
Math Reviews MR559531 (81j:14002)
12
Poonen, Bjorn
Insufficiency of the Brauer-Manin obstruction applied to étale covers
Ann. of Math. 171 (2010) 2157–2169
Math Reviews MR2680407 (2011g:14061)
13
Poonen, Bjorn
Curves over every global field violating the local-global principle
Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 377 (2010) 141–147, 243–244 ; English translation: J. Math. Sci. 171 (2010), 782–785
Math Reviews MR2753654 (2012d:11140)
14
Sarnak, Peter and Wang, Lan
Some hypersurfaces in <b>P</b>4 and the Hasse-principle
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 321 (1995) 319–322
Math Reviews MR1346134 (96j:14014)
15
Serre, Jean-Pierre
Corps locaux
Hermann, Paris, 1962
Math Reviews MR0354618 (50 \#7096)
16
Skorobogatov, Alexei N.
Beyond the Manin obstruction
Invent. Math. 135 (1999) 399–424
Math Reviews MR1666779 (2000c:14022)
Zentralblatt 659.14028
17
Skorobogatov, Alexei
Torsors and rational points
Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001
Math Reviews MR1845760 (2002d:14032)
18
Skorobogatov, Alexei
Descent obstruction is equivalent to étale Brauer-Manin obstruction
Math. Ann. 344 (2009) 501–510
Math Reviews MR2501300 (2010h:14039)
Zentralblatt 951.14013
19
Stoll, Michael
Finite descent obstructions and rational points on curves
Algebra Number Theory 1 (2007) 349–391
Math Reviews MR2368954 (2008i:11086)
Zentralblatt 1076.14033