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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 47 (2014)

Parutions < série 4, 47

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 47, fascicule 2 (2014)

Yves André
Solution algebras of differential equations and quasi-homogeneous varieties: a new differential Galois correspondence
Annales scientifiques de l'ENS 47, fascicule 2 (2014), 449-467

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Résumé :
Algèbres de solutions d'équations différentielles et variétés quasi-homogènes : une nouvelle correspondance de Galois différentielle
Nous tissons un lien nouveau entre algèbre différentielle et théorie géométrique des invariants, basé sur une anti-équivalence de catégories entre algèbres de solutions associées à une équation différentielle linéaire (i.e., algèbres différentielles engendrées par un nombre fini d'expressions polynomiales en les solutions), et variétés quasi-homogènes affines sur le corps de constantes, pour l'action du groupe de Galois différentiel de l'équation. On peut associer des algèbres de solutions à toute connexion sur une base affine lisse. Il s'avère que leurs spectres sont toujours des fibrés algébriques sur la base, de fibre quasi-homogène. Nous soulignons le rôle de ce résultat en théorie des nombres transcendants.

Mots-clefs : Algèbre de solutions, algèbre différentielle, groupe de Galois différentiel, sous-groupe observable, théorie géométrique des invariants, variété quasi-homogène, E-fonction, transcendance.

Abstract:
We develop a new connection between Differential Algebra and Geometric Invariant Theory, based on an anti-equivalence of categories between solution algebras associated to a linear differential equation ( differential algebras generated by finitely many polynomials in a fundamental set of solutions), and affine quasi-homogeneous varieties (over the constant field) for the differential Galois group of the equation. Solution algebras can be associated to any connection over a smooth affine variety. It turns out that the spectrum of a solution algebra is an algebraic fiber space over the base variety, with quasi-homogeneous fiber. We discuss the relevance of this result to Transcendental Number Theory.

Keywords: solution algebra, differential algebra, differential Galois group, observable subgroup, geometric invariant theory, quasi-homogeneous variety, E-function, transcendence.

Class. math. : 12H05, 14M17, 14L24, 11J81.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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