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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 47 (2014)

Parutions < série 4, 47

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 47, fascicule 2 (2014)

Yair Minsky, Barak Weiss
Cohomology classes represented by measured foliations, and Mahler's question for interval exchanges
Annales scientifiques de l'ENS 47, fascicule 2 (2014), 245-284

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Résumé :
Classes de cohomologie représentées par des feuilletages mesurés et question de Mahler pour les échanges d'intervalles
Une structure de translation sur une surface marquée (S,) donne lieu à deux feuilletages mesurés F, G sur S à singularités dans  et, par intégration, à un couple de classes de cohomologie relative [F], [G]H^1(S,;). Étant donné un feuilletage mesuré F, nous caractérisons l'ensemble des classes de cohomologie b pour lesquelles il existe un feuilletage mesuré G comme ci-dessus tel que b=[G]. Cela généralise des résultats antérieurs de Thurston [19] et Sullivan [18]. Nous appliquons ce résultat à deux problèmes : l'unique ergodicité des échanges d'intervalles et les flots sur l'espace des modules des surfaces de translation. Étant donnée une permutation S_d, l'ensemble R^d_+ paramètre les échanges d'intervalles sur d intervalles de permutation associée . Nous décrivons les droites de R^d_+ dont presque tout point est uniquement ergodique. Nous démontrons aussi que si  est donnée par (i)=d+1-i, pour presque tout s>0, l'échange d'intervalles correspondant à  et à (s,s^2,,s^d) est uniquement ergodique. Une autre application est que lorsque k=||2, l'opération consistant à déplacer horizontalement les singularités est bien définie. En notant B le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures de SL(2,R), nous prouvons qu'il y a une action bien définie du groupe  BR^k-1 sur l'ensemble des surfaces de translation de type (S,) sans connexion horizontale.

Mots-clefs : Classes de cohomologie, feuilletages mesurés, la question de Mahler, échanges d'intervalles.

Abstract:
A translation structure on (S, ) gives rise to two transverse measured foliations F, G on S with singularities in , and by integration, to a pair of relative cohomology classes [F],  [G] H^1(S, ; R). Given a measured foliation F, we characterize the set of cohomology classes b for which there is a measured foliation G as above with b = [G]. This extends previous results of Thurston [19] and Sullivan [18]. We apply this to two problems: unique ergodicity of interval exchanges and flows on the moduli space of translation surfaces. For a fixed permutation S_d, the space R^d_+ parametrizes the interval exchanges on d intervals with permutation . We describe lines in R^d_+ such that almost every point in  is uniquely ergodic. We also show that for (i) = d+1-i, for almost every s>0, the interval exchange transformation corresponding to  and (s, s^2, , s^d) is uniquely ergodic. As another application we show that when k=||2, the operation of ``moving the singularities horizontally'' is globally well-defined. We prove that there is a well-defined action of the group B 
R^k-1 on the set of translation surfaces of type (S, ) without horizontal saddle connections. Here B SL(2,R) is the subgroup of upper triangular matrices.

Keywords: Cohomology classes, measured foliations, interval exchanges.

Class. math. : 37D40; 32G15 37F30 57M50.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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