Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.163.39.19
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 47 (2014)

Parutions < série 4, 47

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 47, fascicule 1 (2014)

Olivier Gues, Guy Métivier, Mark Williams, Kevin Zumbrun
Viscous boundary layers in hyperbolic-parabolic systems with Neumann boundary conditions
Annales scientifiques de l'ENS 47, fascicule 1 (2014), 181-243

Télécharger cet article : Fichier PDF

Résumé :
Couches limites visqueuses pour des systèmes hyperboliques-paraboliques avec condition aux limites de Neumann
Nous initions l'étude des couches limites non caractéristiques de systèmes hyperboliques-paraboliques avec condition aux limites de Neumann. Plus généralement, nous étudions les couches limites avec condition aux limites de type mixte Dirichlet-Neumann, lorsque le nombre de conditions aux limites de Dirichlet est inférieur au nombre de modes caractéristiques rentrant dans le domaine, pour l'opérateur hyperbolique. Dans le cas des systèmes linéaires à coefficients constants, nous obtenons un système hyperbolique limite avec des conditions aux limites de type Neumann ou Dirichlet-Neumann. Sous de bonnes hypothèses nous construisons des développements en couches limites BKW à tout ordre. Dans le cas extrême où tous les modes caractéristiques sont rentrants et avec des conditions de Neumann, nous traitons complètement le cas quasilinéaire, prouvant la convergence vers un problème hyperbolique limite avec des conditions de Neumann au bord. Les estimations maximales de stabilité obtenues pour les problèmes linéarisés sont plus faibles que celles typiques correspondant à des conditions de type Dirichlet.

Mots-clefs : Couches limites, conditions mixtes Dirichlet-Neumann, condition Evans-Lopatinski.

Abstract:
We initiate the study of noncharacteristic boundary layers in hyperbolic-parabolic problems with Neumann boundary conditions. More generally, we study boundary layers with mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions where the number of Dirichlet conditions is fewer than the number of hyperbolic characteristic modes entering the domain, that is, the number of boundary conditions needed to specify an outer hyperbolic solution. We have shown previously that this situation prevents the usual WKB approximation involving an outer solution with pure Dirichlet conditions. It also rules out the usual maximal estimates for the linearization of the hyperbolic-parabolic problem about the boundary layer. Here we show that for linear, constant-coefficient, hyperbolic-parabolic problems one obtains a reduced hyperbolic problem satisfying Neumann or mixed Dirichlet-Neumann rather than Dirichlet boundary conditions. When this hyperbolic problem can be solved, a unique formal boundary-layer expansion can be constructed. In the extreme case of pure Neumann conditions and totally incoming characteristics, we carry out a full analysis of the quasilinear case, obtaining a boundary-layer approximation to all orders with a rigorous error analysis. As a corollary we characterize the small viscosity limit for this problem. The analysis shows that although the associated linearized hyperbolic and hyperbolic-parabolic problems do not satisfy the usual maximal estimates for Dirichlet conditions, they do satisfy analogous versions with losses.

Keywords: Boundary layers, mixed Dirichlet-Neumann conditions, Evans-Lopatinski condition.

Class. math. : 35Q30; 35B35, 76D05


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Benzoni-Gavage, Sylvie and Serre, Denis
Multidimensional hyperbolic partial differential equations
The Clarendon Press Oxford Univ. Press, 2007
Math Reviews MR2284507 (2008k:35002)
2
Braslow, A. L.
A history of suction-type laminar-flow control with emphasis on flight research
1999
3
Chazarain, Jacques and Piriou, Alain
Introduction to the theory of linear partial differential equations
North-Holland Publishing Co., 1982
Math Reviews MR678605 (83j:35001)
4
Coulombel, Jean-François and Secchi, Paolo
Nonlinear compressible vortex sheets in two space dimensions
Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 41 (2008) 85–139
Math Reviews MR2423311 (2010a:76075)
5
Fornet, Bruno
Viscous approach for linear hyperbolic systems with discontinuous coefficients
Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 18 (2009) 397–443
Math Reviews MR2562832 (2011b:35293)
6
Fornet, Bruno
The Cauchy problem for 1-D linear nonconservative hyperbolic systems with possibly expansive discontinuity of the coefficient: a viscous approach
J. Differential Equations 245 (2008) 2440–2476
Math Reviews MR2455771 (2009m:35303)
7
Gisclon, Marguerite and Serre, Denis
Conditions aux limites pour un système strictement hyperbolique fournies par le schéma de Godunov
RAIRO Modél. Math. Anal. Numér. 31 (1997) 359–380
Math Reviews MR1451347 (98c:65152)
8
Gues, Olivier and Métivier, Guy and Williams, Mark and Zumbrun, Kevin
Multidimensional viscous shocks. II. The small viscosity limit
Comm. Pure Appl. Math. 57 (2004) 141–218
Math Reviews MR2012648 (2005f:35201)
9
Gues, Olivier and Métivier, Guy and Williams, Mark and Zumbrun, Kevin
Existence and stability of noncharacteristic boundary layers for the compressible Navier-Stokes and viscous MHD equations
Arch. Ration. Mech. Anal. 197 (2010) 1–87
Math Reviews MR2646814 (2012f:35400)
10
Gues, Olivier and Métivier, Guy and Williams, Mark and Zumbrun, Kevin
Viscous boundary value problems for symmetric systems with variable multiplicities
J. Differential Equations 244 (2008) 309–387
Math Reviews MR2376200 (2009c:35280)
11
Gues, Olivier and Métivier, Guy and Williams, Mark and Zumbrun, Kevin
Uniform stability estimates for constant-coefficient symmetric hyperbolic boundary value problems
Comm. Partial Differential Equations 32 (2007) 579–590
Math Reviews MR2334823 (2009m:35309)
12
Kreiss, Heinz-Otto
Initial boundary value problems for hyperbolic systems
Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970) 277–298
Math Reviews MR0437941 (55 \#10862)
13
Métivier, Guy
Small viscosity and boundary layer methods
Birkhäuser, 2004
Math Reviews MR2151414 (2007b:35004)
14
Métivier, Guy and Zumbrun, Kevin
Large viscous boundary layers for noncharacteristic nonlinear hyperbolic problems
Mem. Amer. Math. Soc. 175 (2005)
Math Reviews MR2130346 (2006f:35168)
15
Métivier, Guy and Zumbrun, Kevin
Hyperbolic boundary value problems for symmetric systems with variable multiplicities
J. Differential Equations 211 (2005) 61–134
Math Reviews MR2121110 (2005j:35145)
16
Métivier, Guy and Zumbrun, Kevin
Symmetrizers and continuity of stable subspaces for parabolic-hyperbolic boundary value problems
Discrete Contin. Dyn. Syst. 11 (2004) 205–220
Math Reviews MR2073953 (2005f:35138)
17
Nguyen, Toan and Zumbrun, Kevin
Long-time stability of large-amplitude noncharacteristic boundary layers for hyperbolic-parabolic systems
J. Math. Pures Appl. 92 (2009) 547–598
Math Reviews MR2565843 (2011e:35311)
18
Nguyen, Toan and Zumbrun, Kevin
Long-time stability of multi-dimensional noncharacteristic viscous boundary layers
Comm. Math. Phys. 299 (2010) 1–44
Math Reviews MR2672797 (2011k:35189)
19
Rao, Indrani
Stability of noncharacteristic boundary-layers for the compressible nonisentropic Navier-Stokes equations
Thèse, The University of North Carolina at Chapel Hill (2010)
Math Reviews MR2753213
20
Rousset, Frédéric
Inviscid boundary conditions and stability of viscous boundary layers
Asymptot. Anal. 26 (2001) 285–306
Math Reviews MR1844545 (2003c:35114)
21
Rousset, Frédéric
Stability of small amplitude boundary layers for mixed hyperbolic-parabolic systems
Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003) 2991–3008
Math Reviews MR1975409 (2004h:35094)
22
Schlichting, Hermann
Boundary layer theory
McGraw-Hill Book Co., 1960
Math Reviews MR0122222 (22 \#12948)
23
Serre, Denis
Second order initial boundary-value problems of variational type
J. Funct. Anal. 236 (2006) 409–446
Math Reviews MR2240169 (2007k:35287)
24
Serre, Denis
Sur la stabilité des couches limites de viscosité
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 51 (2001) 109–130
Math Reviews MR1821071 (2002a:35141)
25
Serre, Denis and Zumbrun, Kevin
Boundary layer stability in real vanishing viscosity limit
Comm. Math. Phys. 221 (2001) 267–292
Math Reviews MR1845324 (2003m:35032)
26
Zumbrun, Kevin
Stability of noncharacteristic boundary layers in the standing-shock limit
Trans. Amer. Math. Soc. 362 (2010) 6397–6424
Math Reviews MR2678980 (2011m:35302)