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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 47 (2014)

Parutions < série 4, 47

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 47, fascicule 6 (2014)

David Witt Nyström
Transforming metrics on a line bundle to the Okounkov body
Annales scientifiques de l'ENS 47, fascicule 6 (2014), 1111-1161

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Résumé :
Transformation des métriques sur un fibré en droite pour le corps d'Okounkov
Soit L un fibré en droite holomorphe gros sur une variété complexe X, projective et lisse. Nous montrons comment associer une fonction convexe sur le corps d'Okounkov de L à chaque métrique continue sur L. Nous l'appelons la transformée de Chebyshev de , désignée par c[]. Notre théorème principal affirme que la différence des volumes métriques de L par rapport à deux métriques, une notion introduite par Berman-Boucksom, s'écrit comme une intégrale de la différence des transformations de Chebyshev des métriques. Quand les métriques sont de courbure positive, le volume métrique coïncide avec l'énergie de Monge-Ampère, qui est une fonctionnelle bien connue dans la géométrie de Kähler-Einstein et la géométrie d'Arakelov. On démontre que ceci peut être considéré comme une généralisation des résultats classiques sur les constantes de Chebyshev et la transformation de Legendre des métriques invariantes sur des variétés toriques. En guise d'application, on démontre la différentiabilité du volume métrique dans le cône des gros R-diviseurs métrisés. Ceci généralise le résultat de Boucksom-Favre-Jonsson sur la différentiabilité du volume ordinaire des R-diviseurs gros et le résultat de Berman-Boucksom sur la différentiabilité du volume métrique quand le fibré L est fixe.

Mots-clefs : Variétés projectives, corps d'Okounkov, transformations des métriques.

Abstract:
Let L be a big holomorphic line bundle on a complex projective manifold X. We show how to associate a convex function on the Okounkov body of L to any continuous metric on L. We will call this the Chebyshev transform of , denoted by c[]. Our main theorem states that the difference of metric volume of L with respect to two metrics, a notion introduced by Berman-Boucksom, is equal to the integral over the Okounkov body of the difference of the Chebyshev transforms of themetrics. When the metrics have positive curvature the metric volume coincides with the Monge-Ampère energy, which is a well-known functional in Kähler-Einstein geometry and Arakelov geometry. We show that this can be seen as a generalization of classical results on Chebyshev constants and the Legendre transform of invariant metrics on toric manifolds. As an application we prove the differentiability of the metric volume in the cone of big metrized R-divisors. This generalizes the result of Boucksom-Favre-Jonsson on the differentiability of the ordinary volume of big R-divisors and the result of Berman-Boucksom on the differentiability of the metric volume when the underlying line bundle is fixed.

Keywords: Projective manifolds, Okounkov bodies, transforms of metrics.

Class. math. : 32W20, 32Q15, 32U20.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Berman, Robert and Boucksom, Sébastien
Growth of balls of holomorphic sections and energy at equilibrium
Invent. Math. 181 (2010) 337–394
Math Reviews MR2657428 (2011h:32021)
2
Berman, Robert and Boucksom, Sébastien and Witt Nyström, David
Fekete points and convergence towards equilibrium measures on complex manifolds
Acta Math. 207 (2011) 1–27
Math Reviews MR2863909 (2012j:32036)
3
Bloom, Thomas and Levenberg, Norman
Transfinite diameter notions in CN and integrals of Vandermonde determinants
Ark. Mat. 48 (2010) 17–40
Math Reviews MR2594584 (2011d:32053)
4
Boucksom, Sébastien
On the volume of a line bundle
Internat. J. Math. 13 (2002) 1043–1063
Math Reviews MR1945706 (2003j:32025)
5
Boucksom, Sébastien and Favre, Charles and Jonsson, Mattias
Differentiability of volumes of divisors and a problem of Teissier
J. Algebraic Geom. 18 (2009) 279–308
Math Reviews MR2475816 (2009m:14005)
6
Boucksom, Sébastien and Eyssidieux, Philippe and Guedj, Vincent and Zeriahi, Ahmed
Monge-Ampère equations in big cohomology classes
Acta Math. 205 (2010) 199–262
Math Reviews MR2746347 (2011k:32049)
7
Boucksom, Sébastien and Chen, Huayi
Okounkov bodies of filtered linear series
Compos. Math. 147 (2011) 1205–1229
Math Reviews MR2822867
8
9
Hisamoto, Tomoyuki
Restricted Bergman kernel asymptotics
Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012) 3585–3607
Math Reviews MR2901225
10
Khovanskii, Askold
The Newton polytope, the Hilbert polynomial and sums of finite sets
Funktsional. Anal. i Prilozhen. 26 (1992) 57–63 ; translation: Funct. Anal. Appl. 26 (1993), 331–348
Math Reviews MR1209944 (94e:14068)
11
12
Kaveh, Kiumars and Khovanskii, Askold
Algebraic equations and convex bodies
in Perspectives in analysis, geometry, and topology
Progr. Math. 296 (2012) 263–282
Math Reviews MR2884040 (2012k:52018)
13
Lazarsfeld, Robert and Mustaţă, Mircea
Convex bodies associated to linear series
Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 42 (2009) 783–835
Math Reviews MR2571958 (2011e:14012)
14
Okounkov, Andrei
Brunn-Minkowski inequality for multiplicities
Invent. Math. 125 (1996) 405–411
Math Reviews MR1400312 (99a:58074)
15
Okounkov, Andrei
Why would multiplicities be log-concave?
in The orbit method in geometry and physics (Marseille, 2000)
Progr. Math. 213 (2003) 329–347
Math Reviews MR1995384 (2004j:20022)
16
Rumely, Robert and Lau, Chi Fong and Varley, Robert
Existence of the sectional capacity
Mem. Amer. Math. Soc. 145 (2000)
Math Reviews MR1677934 (2000j:14039)
17
Saff, Edward B. and Totik, Vilmos
Logarithmic potentials with external fields
Springer, Berlin, 1997
Math Reviews MR1485778 (99h:31001)
18
Zaharjuta, V. P.
Transfinite diameter, Chebyshev constants, and capacity for compacts in C^n
Math. USSR Sbornik 25 (1975) 350–364
19
Yuan, Xinyi
On volumes of arithmetic line bundles II
Compos. Math. 145 (2009) 1447–1464
Math Reviews MR2575090 (2011a:14054)
20