Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.80.87.250
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 47 (2014)

Parutions < série 4, 47

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 47, fascicule 6 (2014)

Vincent Delecroix, Pascal Hubert, Samuel Lelièvre
Diffusion for the periodic wind-tree model
Annales scientifiques de l'ENS 47, fascicule 6 (2014), 1085-1110

Télécharger cet article : Fichier PDF

Résumé :
Diffusion du vent dans les arbres
Le vent dans les arbres périodique est un billard infini construit de la manière suivante. On considère le plan dans lequel sont placés des obstacles rectangulaires identiques à chaque point entier. Une particule (identifiée à un point) se déplace en ligne droite (le vent) et rebondit de manière élastique sur les obstacles (les arbres). Nous prouvons qu'indépendamment de la taille des obstacles et génériquement par rapport à l'angle initial de la particule le coefficient de diffusion polynomial des orbites de ce billard est 2/3.

Mots-clefs : Billard, diffusion, surfaces de translation, exposants de Liapounoff, moyennes ergodiques.

Abstract:
The periodic wind-tree model is an infinite billiard in the plane with identical rectangular scatterers placed at each integer point. We prove that independently of the size of scatters and generically with respect to the angle, the polynomial diffusion rate in this billiard is 2/3.

Keywords: Billiards, diffusion, translations surfaces, Lyapunov exponents, ergodic averages.

Class. math. : 30F30, 37E35, 37A40.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Bainbridge, Matt
Euler characteristics of Teichmüller curves in genus two
Geom. Topol. 11 (2007) 1887–2073
Math Reviews MR2350471 (2009c:32025)
2
Bouw, Irene I. and Möller, Martin
Teichmüller curves, triangle groups, and Lyapunov exponents
Ann. of Math. 172 (2010) 139–185
Math Reviews MR2680418 (2012b:32020)
3
Bufetov, Alexander I.
Limit theorems for translation flows
Ann. of Math. 179 (2014) 431–499
Math Reviews MR3152940
4
5
Chen, Dawei and Möller, Martin
Nonvarying sums of Lyapunov exponents of Abelian differentials in low genus
Geom. Topol. 16 (2012) 2427–2479
Math Reviews MR3033521
6
Calta, Kariane
Veech surfaces and complete periodicity in genus two
J. Amer. Math. Soc. 17 (2004) 871–908
Math Reviews MR2083470 (2005j:37040)
7
Conze, Jean-Pierre and Gutkin, Eugene
On recurrence and ergodicity for geodesic flows on non-compact periodic polygonal surfaces
Ergodic Theory Dynam. Systems 32 (2012) 491–515
Math Reviews MR2901357
8
Ehrenfest, P. and Ehrenfest, T.
Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik
in Encykl. d. Math. Wissensch. IV 2 II, Heft 6
(1912) (in German, translated in:) The conceptual foundations of the statistical approach in mechanics, 10-13 Cornell University Press, Ithaca NY, (1959)
9
Eskin, Alex and Kontsevich, Maxim and Zorich, Anton
Lyapunov spectrum of square-tiled cyclic covers
J. Mod. Dyn. 5 (2011) 319–353
Math Reviews MR2820564 (2012h:37073)
10
Eskin, Alex and Kontsevich, Maxim and Zorich, Anton
Sum of Lyapunov exponents of the Hodge bundle with respect to the Teichmüller geodesic flow
Publ. Math. I.H.É.S. 120 (2014) 207–333
Math Reviews MR3270590
11
12
13
Forni, Giovanni
Deviation of ergodic averages for area-preserving flows on surfaces of higher genus
Ann. of Math. 155 (2002) 1–103
Math Reviews MR1888794 (2003g:37009)
14
Forni, Giovanni
A geometric criterion for the nonuniform hyperbolicity of the Kontsevich-Zorich cocycle
J. Mod. Dyn. 5 (2011) 355–395
Math Reviews MR2820565 (2012f:37061)
15
Forni, Giovanni and Matheus, Carlos and Zorich, Anton
Square-tiled cyclic covers
J. Mod. Dyn. 5 (2011) 285–318
Math Reviews MR2820563 (2012f:37071)
16
Fraczek, Krzysztof and Ulcigrai, Corinna
Non-ergodic Z-periodic billiards and infinite translation surfaces
Invent. Math. 197 (2014) 241–298
Math Reviews MR3232007
17
Hardy, J. and Weber, J.
Diffusion in a periodic wind-tree model
J. Math. Phys. 21 (1980) 1802–1808
Math Reviews MR575616 (81e:82071)
18
Hooper, W. Patrick and Weiss, Barak
Generalized staircases: recurrence and symmetry
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 62 (2012) 1581–1600
Math Reviews MR3025751
19
20
Hubert, Pascal and Lelièvre, Samuel and Troubetzkoy, Serge
The Ehrenfest wind-tree model: periodic directions, recurrence, diffusion
J. reine angew. Math. 656 (2011) 223–244
Math Reviews MR2818861 (2012f:37079)
21
Hubert, Pascal and Schmithüsen, Gabriela
Infinite translation surfaces with infinitely generated Veech groups
J. Mod. Dyn. 4 (2010) 715–732
Math Reviews MR2753950 (2012e:37075)
22
Keane, Michael
Interval exchange transformations
Math. Z. 141 (1975) 25–31
Math Reviews MR0357739 (50 \#10207)
23
Krikorian, R.
Déviations de moyennes ergodiques, flots de Teichmüller et cocycle de Kontsevich-Zorich (d'après Forni, Kontsevich, Zorich...)
Séminaire Bourbaki, vol. 2003/2004, no 927, Astérisque 299 (2005) 59–93
24
Kontsevich, Maxim
Lyapunov exponents and Hodge theory
in The mathematical beauty of physics (Saclay, 1996)
Adv. Ser. Math. Phys. 24 (1997) 318–332
Math Reviews MR1490861 (99b:58147)
25
26
Kontsevich, Maxim and Zorich, Anton
Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities
Invent. Math. 153 (2003) 631–678
Math Reviews MR2000471 (2005b:32030)
27
28
Masur, Howard
Interval exchange transformations and measured foliations
Ann. of Math. 115 (1982) 169–200
Math Reviews MR644018 (83e:28012)
29
McMullen, Curtis T.
Billiards and Teichmüller curves on Hilbert modular surfaces
J. Amer. Math. Soc. 16 (2003) 857–885
Math Reviews MR1992827 (2004f:32015)
30
McMullen, Curtis T.
Teichmüller curves in genus two: discriminant and spin
Math. Ann. 333 (2005) 87–130
Math Reviews MR2169830 (2006h:32011)
31
McMullen, Curtis T.
Dynamics of SL2(R) over moduli space in genus two
Ann. of Math. 165 (2007) 397–456
Math Reviews MR2299738 (2008k:32035)
32
Schmithüesen, G.
Examples of origamis
in The Geometry of Riemann Surfaces and Abelian Varieties
Contemp. Math. 397 (2006) 193–206
33
Rauzy, Gérard
Échanges d'intervalles et transformations induites
Acta Arith. 34 (1979) 315–328
Math Reviews MR543205 (82m:10076)
34
Tabachnikov, Serge
Billiards
Soc. Math., France, 1995
Math Reviews MR1328336 (96c:58134)
35
Przytycki, Piotr and Schmithüsen, Gabriela and Valdez, Ferrán
Veech groups of Loch Ness monsters
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 61 (2011) 673–687
Math Reviews MR2895069
36
Valdez, Ferrán
Veech groups, irrational billiards and stable abelian differentials
Discrete Contin. Dyn. Syst. 32 (2012) 1055–1063
Math Reviews MR2851891 (2012i:37057)
37
Veech, William A.
Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps
Ann. of Math. 115 (1982) 201–242
Math Reviews MR644019 (83g:28036b)
38
Veech, William A.
Teichmüller curves in moduli space, Eisenstein series and an application to triangular billiards
Invent. Math. 97 (1989) 553–583
Math Reviews MR1005006 (91h:58083a)
39
40
Yoccoz, Jean-Christophe
Continued fraction algorithms for interval exchange maps: an introduction
in Frontiers in number theory, physics, and geometry. I
(2006) 401–435
Math Reviews MR2261103 (2008b:37011)
41
Zorich, Anton
Finite Gauss measure on the space of interval exchange transformations. Lyapunov exponents
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 46 (1996) 325–370
Math Reviews MR1393518 (97f:58081)
42
Zorich, Anton
Deviation for interval exchange transformations
Ergodic Theory Dynam. Systems 17 (1997) 1477–1499
Math Reviews MR1488330 (99e:58124)
43
Zorich, Anton
How do the leaves of a closed 1-form wind around a surface?
in Pseudoperiodic topology
Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 197 (1999) 135–178
Math Reviews MR1733872 (2001c:57019)
44
Zorich, Anton
Flat surfaces
in Frontiers in number theory, physics, and geometry. I
(2006) 437–583
Math Reviews MR2261104 (2007i:37070)