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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 46 (2013)

Parutions < série 4, 46

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 46, fascicule 6 (2013)

Boris Adamczewski, Jason P. Bell
Diagonalization and Rationalization of algebraic Laurent series
Annales scientifiques de l'ENS 46, fascicule 6 (2013), 963-1004

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Résumé :
Diagonalisation et rationalisation des séries algébriques de Laurent
Nous démontrons une version quantitative d'un résultat de Furstenberg [21] et Deligne [14] : la diagonale d'une série formelle algébrique de plusieurs variables à coefficients dans un corps de caractéristique non nulle est une série formelle algébrique d'une variable. Comme conséquence, nous obtenons que, pour tout nombre premier p, la réduction modulo p de la diagonale d'une série formelle algébrique de plusieurs variables f à coefficients entiers est une série formelle algébrique de degré au plus p^A et de hauteur au plus Ap^A, où A est une constante effective ne dépendant que du nombre de variables, du degré de f et de la hauteur de f. Cela répond à une question soulevée par Deligne [14].

Mots-clefs : Diagonales de fonctions algébriques, séries formelles, séries de Laurent à plusieurs variables, G-fonctions, réduction modulo p.

Abstract:
We prove a quantitative version of a result of Furstenberg [21] and Deligne [14] stating that the diagonal of a multivariate algebraic power series with coefficients in a field of positive characteristic is algebraic. As a consequence, we obtain that for every prime p the reduction modulo p of the diagonal of a multivariate algebraic power series f with integer coefficients is an algebraic power series of degree at most p^A and height at most Ap^A, where A is an effective constant that only depends on the number of variables, the degree of f and the height of f. This answers a question raised by Deligne [14].

Keywords: Diagonals of algebraic functions, formal power series, multivariate Laurent series, G-functions, reduction modulo p.

Class. math. : 13F25, 11B85, 11J85, 11T99, 34M99, 05A15, 33E99


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Adamczewski, Boris and Bell, Jason P.
On vanishing coefficients of algebraic power series over fields of positive characteristic
Invent. Math. 187 (2012) 343–393
Math Reviews MR2885622
2
Allouche, J.-P.
Transcendence of formal power series with rational coefficients
Theoret. Comput. Sci. 218 (1999) 143–160
Math Reviews MR1687784 (2000e:13029)
3
Allouche, J.-P. and Gouyou-Beauchamps, D. and Skordev, G.
Transcendence of binomial and Lucas' formal power series
J. Algebra 210 (1998) 577–592
Math Reviews MR1662292 (2000a:11105)
4
André, Yves
G-functions and geometry
Friedr. Vieweg Sohn, 1989
Math Reviews MR990016 (90k:11087)
5
Beukers, F.
Congruence properties of coefficients of solutions of Picard-Fuchs equations
Groupe de travail d'analyse ultramétrique 14 (1986–1987) 1–6
6
Beukers, F. and Peters, C. A. M.
A family of K3 surfaces and (3)
J. reine angew. Math. 351 (1984) 42–54
Math Reviews MR749676 (87h:11056)
7
Cameron, R. H. and Martin, W. T.
Analytic continuation of diagonals and Hadamard compositions of multiple power series
Trans. Amer. Math. Soc. 44 (1938) 1–7
Math Reviews MR1501956
8
Christol, Gilles
Diagonales de fractions rationnelles et équations différentielles
Groupe de travail d'analyse ultramétrique 10 (1982–1983) 1–10
9
Christol, Gilles
Diagonales de fractions rationnelles et équations de Picard-Fuchs
Groupe de travail d'analyse ultramétrique 12 (1984–1985) 1–12
10
Christol, Gilles
Diagonales de fractions rationnelles
in Séminaire de Théorie des Nombres, Paris 1986–87
Progr. Math. 75 (1988) 65–90
Math Reviews MR990506 (90m:12007a)
11
Christol, Gilles
Globally bounded solutions of differential equations
in Analytic number theory (Tokyo, 1988)
Lecture Notes in Math. 1434 (1990) 45–64
Math Reviews MR1071744 (92c:12007)
Zentralblatt 698.00019
12
Christol, Gilles and Kamae, T. and Mendès France, M. and Rauzy, G.
Suites algébriques, automates et substitutions
Bull. Soc. Math. France 108 (1980) 401–419
Math Reviews MR614317 (82e:10092)
13
14
Deligne, P.
Intégration sur un cycle évanescent
Invent. Math. 76 (1984) 129–143
Math Reviews MR739629 (86b:14002)
15
Denef, J. and Lipshitz, Leonard
Algebraic power series and diagonals
J. Number Theory 26 (1987) 46–67
Math Reviews MR883533 (88f:16002)
16
Derksen, Harm
A Skolem-Mahler-Lech theorem in positive characteristic and finite automata
Invent. Math. 168 (2007) 175–224
Math Reviews MR2285750 (2008c:11038)
Zentralblatt 051.27801
17
Dwork, Bernard and Gerotto, Giovanni and Sullivan, Francis J.
An introduction to G-functions
Princeton Univ. Press, 1994
Math Reviews MR1274045 (96c:12009)
18
Eisenbud, David
Commutative algebra
Springer, 1995
Math Reviews MR1322960 (97a:13001)
Zentralblatt 432.13001
19
Fischler, Stéphane
Irrationalité de valeurs de zêta (d'après Apéry, Rivoal, ...)
Séminaire Bourbaki, vol. 2002/03, exp. no 910, Astérisque 294 (2004) 27–62
Math Reviews MR2111638 (2005i:11091)
20
Flajolet, Philippe
Analytic models and ambiguity of context-free languages
Theoret. Comput. Sci. 49 (1987) 283–309
Math Reviews MR909335 (89e:68067)
21
Furstenberg, Harry
Algebraic functions over finite fields
J. Algebra 7 (1967) 271–277
Math Reviews MR0215820 (35 \#6655)
22
Harase, Takashi
Algebraic elements in formal power series rings
Israel J. Math. 63 (1988) 281–288
Math Reviews MR969943 (90a:13035)
23
Harase, Takashi
Algebraic elements in formal power series rings. II
Israel J. Math. 67 (1989) 62–66
Math Reviews MR1021361 (90j:13019)
Zentralblatt 675.13015
24
Kontsevich, Maxim and Zagier, Don
Periods
in Mathematics unlimited—2001 and beyond
(2001) 771–808
Math Reviews MR1852188 (2002i:11002)
25
Lipshitz, Leonard
The diagonal of a D-finite power series is D-finite
J. Algebra 113 (1988) 373–378
Math Reviews MR929767 (89c:13027)
26
Lipshitz, Leonard and van der Poorten, Alfred J.
Rational functions, diagonals, automata and arithmetic
in Number theory (Banff, AB, 1988)
(1990) 339–358
Math Reviews MR1106672 (93b:11095)
27
Salon, O.
Suites automatiques à multi-indices
Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux (1986–1987) exposé 4, 1–27
28
Sathaye, A.
Generalized Newton-Puiseux expansion and Abhyankar-Moh semigroup theorem
Invent. Math. 74 (1983) 149–157
Math Reviews MR722730 (85j:14097)
29
Sharif, Habib and Woodcock, Christopher F.
Algebraic functions over a field of positive characteristic and Hadamard products
J. London Math. Soc. 37 (1988) 395–403
Math Reviews MR939116 (89f:12005)
30
Woodcock, Christopher F. and Sharif, Habib
On the transcendence of certain series
J. Algebra 121 (1989) 364–369
Math Reviews MR992771 (90i:11075)
31
Stanley, Richard P.
Generating functions
in Studies in combinatorics
MAA Stud. Math. 17 (1978) 100–141
Math Reviews MR513004 (81i:05015)
32
Stanley, Richard P.
Differentiably finite power series
European J. Combin. 1 (1980) 175–188
Math Reviews MR587530 (81m:05012)
33
Stanley, Richard P.
Enumerative combinatorics. Vol. 2
Cambridge Univ. Press, 1999
Math Reviews MR1676282 (2000k:05026)
34
Roquette, Peter
Einheiten und Divisorklassen in endlich erzeugbaren Körpern
Jber. Deutsch. Math. Verein 60 (1957) 1–21
Math Reviews MR0104652 (21 \#3405)
35
Waldschmidt, Michel
Transcendence of periods: the state of the art
Pure Appl. Math. Q. 2 (2006) 435–463
Math Reviews MR2251476 (2007d:11083)
36
Waldschmidt, Michel
Elliptic functions and transcendence
in Surveys in number theory
Dev. Math. 17 (2008) 143–188
Math Reviews MR2462949 (2010a:11142)