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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 46 (2013)

Parutions < série 4, 46

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 46, fascicule 6 (2013)

Carlos Matheus, Carlos G. Moreira, Enrique R. Pujals
Axiom A versus Newhouse phenomena for Benedicks-Carleson toy models
Annales scientifiques de l'ENS 46, fascicule 6 (2013), 857-878

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Résumé :
Axiome A versus phénomène de Newhouse pour les modèles jouets de Benedicks-Carleson
Nous considérons une famille de systèmes introduite en 1991 par Benedicks et Carleson comme un modèle jouet pour la dynamique des applications d'Hénon. Nous montrons que l'axiome A de Smale est une propriété C^1-dense parmi les systèmes dans cette famille, même si nous trouvons aussi des ensembles C^2-ouverts (liés au phénomène de Newhouse) où l'axiome A de Smale n'est pas satisfait. En particulier, notre résultat soutient la conjecture de Smale selon laquelle l'axiome A est une propriété C^1-dense parmi les difféomorphismes de surfaces. Les outils utilisés dans la preuve de notre résultat sont : (1) un théorème récent de Moreira qui dit que les intersections stables des ensembles de Cantor dynamiques (une des obstructions majeures à l'axiome A pour les difféomorphismes de surfaces) peuvent être enlevées par des perturbations C^1-petites; (2) la bonne géométrie de l'ensemble de points critiques dynamiques (au sens de Rodriguez-Hertz et Pujals) due à la forme particulière des modèles jouets de Benedicks-Carleson.

Mots-clefs : Axiome A, phénomène de Newhouse, modèles jouets de Benedicks-Carleson, applications d'Hénon, points critiques dynamiques, intersections stables des ensembles de Cantor dynamiques, systèmes dynamiques en dimension deux.

Abstract:
We consider a family of planar systems introduced in 1991 by Benedicks and Carleson as a toy model for the dynamics of the so-called Hénon maps. We show that Smale's Axiom A property is C^1-dense among the systems in this family, despite the existence of C^2-open subsets (closely related to the so-called Newhouse phenomena) where Smale's Axiom A is violated. In particular, this provides some evidence towards Smale's conjecture that Axiom A is a C^1-dense property among surface diffeomorphisms. The basic tools in the proof of this result are: (1) a recent theorem of Moreira saying that stable intersections of dynamical Cantor sets (one of the main obstructions to Axiom A property for surface diffeomorphisms) can be destroyed by C^1-perturbations; (2) the good geometry of the dynamical critical set (in the sense of Rodriguez-Hertz and Pujals) thanks to the particular form of Benedicks-Carleson toy models.

Keywords: Axiom A, Newhouse phenomena, Benedicks-Carleson toy models, Hénon maps, dynamical critical points, stable intersections of dynamical Cantor sets, two-dimensional dynamical systems.

Class. math. : 37D40; 37D20.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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