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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 46 (2013)

Parutions < série 4, 46

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 46, fascicule 5 (2013)

Alexander B. Goncharov, Richard Kenyon
Dimers and cluster integrable systems
Annales scientifiques de l'ENS 46, fascicule 5 (2013), 747-813

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Résumé :
Dimères et systèmes intégrables de type cluster
Au modèle des dimères sur un graphe biparti sur le tore, on associe un système intégrable quantique, qu'on appelle système intégrable de type cluster. L'espace des phases classique contient, comme ouvert dense, l'espace des modules L_ des fibrés en lignes avec connexion sur le graphe . La somme des hamiltoniens est essentiellement la fonction de partition du modèle des dimères. Disons que deux graphes _1 et _2 sont équivalents si les polygones de Newton des fonctions de partitions correspondantes coïncident à translation près. Nous définissons des transformations élémentaires des graphes bipartis sur une surface, et montrons que deux graphes minimaux et équivalents sont reliés par une suite de transformations élémentaires. Pour chaque transformation élémentaire, nous définissons un isomorphisme de Poisson birationnel L__1 L__2 donnant une équivalence des systèmes intégrables. Nous montrons que c'est une transformation de Poisson de type cluster, comme défini dans [12]. Nous montrons que, pour chaque polygone convexe entier N, il y a un ensemble fini et non-vide de graphes minimaux pour lesquels N est le polygone de Newton de la fonction de partition sous-jacente. Recollant les variétés L_ pour les graphes reliés par des transformations élémentaires via les transformations de Poisson correspondantes, on construit un espace de Poisson X_N. C'est un espace de phases naturel pour le système intégrable. Les hamiltoniens sont des fonctions sur X_N, paramétrées par les points intérieurs de N. On construit des fonctions de Casimir dont les courbes de niveaux sont les feuilles symplectiques de X_N. L'espace X_N a une structure de variété de Poisson de type cluster. Alors l'algèbre des fonctions régulières sur X_N a une q-déformation non-commutative à une -algèbre O_q(X_N). Nous montrons que les hamiltoniens fournissent une famille commutative d'hamiltoniens quantiques. Avec les Casimirs quantiques ils engendrent un système intégrable quantique. La méthode générale de [13] donne une -représentation de la -algèbre O_q(X_N) dans un espace de Hilbert. Les hamiltoniens quantiques agissent par operateurs auto-adjoints qui commutent entre eux. Pour le cas d'un quotient de ^2 sur un tore, nous avons aussi un système intégrable quantique discret, dont l'évolution est un automorphisme de type cluster de la -algèbre O_q(X_N) commutant avec les hamiltoniens quantiques. Nous montrons que la récurrence octaédrale (récurrence de Hirota) apparaît de cette manière. À n'importe quel graphe G sur le tore on associe un graphe biparti _G sur T. Nous montrons que l'espace des phases X associé à _G a une sous-variété lagrangienne R, définie dans chaque système de coordonnées par des équations monomiales. On l'identifie avec l'espace paramétrisant les réseaux de résistances sur G. L'ensemble (X, R) a un grand groupe d'automorphismes de type cluster. En particulier, pour le graphe hexagonal, on trouve un système intégrable quantique discret sur X dont la restriction à R donne la récurrence cubique []. L'ensemble des points positifs réels X_N(R _>0) de l'espace des phases est bien défini. Il est isomorphe à l'espace de modules des courbes simples de Harnack avec diviseurs étudié dans [31]. Les tores de Liouville du système intégrable réel sont donnés par des produits d'ovales des courbes simples de Harnack. Dans la suite [20] de cet article, nous montrons que l'ensemble des points complexes X_N(C ) de l'espace des phases est birationnellement isomorphe à un revêtement du système de Beauville relié à la surface torique associée au polygone N.

Mots-clefs : Systèmes intégrables, dimères, algebre amassée

Abstract:
We show that the dimer model on a bipartite graph on a torus gives rise to a quantum integrable system of special type, which we call a cluster integrable system. The phase space of the classical system contains, as an open dense subset, the moduli space L_ of line bundles with connections on the graph . The sum of Hamiltonians is essentially the partition function of the dimer model. We say that two such graphs _1 and _2 are equivalent if the Newton polygons of the corresponding partition functions coincide up to translation. We define elementary transformations of bipartite surface graphs, and show that two equivalent minimal bipartite graphs are related by a sequence of elementary transformations. For each elementary transformation we define a birational Poisson isomorphism L__1 L__2 providing an equivalence of the integrable systems. We show that it is a cluster Poisson transformation, as defined in [12]. We show that for any convex integral polygon N there is a non-empty finite set of minimal graphs for which N is the Newton polygon of the partition function related to . Gluing the varieties L_ for graphs related by elementary transformations via the corresponding cluster Poisson transformations, we get a Poisson space X_N. It is a natural phase space for the integrable system. The Hamiltonians are functions on X_N, parametrized by the interior points of the Newton polygon N. We construct Casimir functions whose level sets are the symplectic leaves of X_N. The space X_N has a structure of a cluster Poisson variety. Therefore the algebra of regular functions on X_N has a non-commutative q-deformation to a -algebra O_q(X_N). We show that the Hamiltonians give rise to a commuting family of quantum Hamiltonians. Together with the quantum Casimirs, they provide a quantum integrable system. Applying the general quantization scheme [13], we get a -representation of the -algebra O_q(X_N) in a Hilbert space. The quantum Hamiltonians act by commuting unbounded selfadjoint operators. For square grid bipartite graphs on a torus we get discrete quantum integrable systems, where the evolution is a cluster automorphism of the -algebra O_q(X_N) commuting with the quantum Hamiltonians. We show that the octahedral recurrence, closely related to Hirota's bilinear difference equation [23], appears this way. Any graph G on a torus T gives rise to a bipartite graph _G on T. We show that the phase space X related to the graph _G has a Lagrangian subvariety R, defined in each coordinate system by a system of monomial equations. We identify it with the space parametrizing resistor networks on G. The pair (X, R) has a large group of cluster automorphisms. In particular, for a hexagonal grid graph we get a discrete quantum integrable system on X whose restriction to R is essentially given by the cube recurrence [37], [6]. The set of positive real points X_N(R _>0) of the phase space is well defined. It is isomorphic to the moduli space of simple Harnack curves with divisors studied in [31]. The Liouville tori of the real integrable system are given by the product of ovals of the simple Harnack curves. In the sequel [20] to this paper we show that the set of complex points X_N(C ) of the phase space is birationally isomorphic to a finite cover of the Beauville complex algebraic integrable system related to the toric surface assigned to the polygon N.

Keywords: Integrable systems, dimers, cluster algebras

Class. math. : 13F60, 82B20, 14H70.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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