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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 46 (2013)

Parutions < série 4, 46

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 46, fascicule 4 (2013)

Jun-Muk Hwang
Varieties of minimal rational tangents of codimension 1
Annales scientifiques de l'ENS 46, fascicule 4 (2013), 629-649

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Résumé :
Variétés des courbes rationnelles minimales de codimension 1
Soit X une variété projective uniréglée et soit x un point général. D'après le résultat principal de [2], si le degré par rapport à -K_X de toute courbe rationnelle passant par x est au moins égal à (X)+1, alors X est un espace projectif. Dans cet article, nous étudions la structure de X sous l'hypothèse que le degré par rapport à -K_X de toute courbe rationnelle passant par x est au moins égal à (X). Notre étude repose sur la variété projective C_xPT_x(X) que nous appelons la VMRT (variété des tangentes des courbes rationnelles minimales) en x et qui est définie comme la réunion de toutes les directions tangentes aux courbes rationnelles passant par x dont le degré par rapport à -K_X est minimal. Lorsque ce degré est égal à (X), la VMRT C_x est une hypersurface de PT_x(X). Notre résultat principal affirme que si la VMRT en un point général d'une variété projective uniréglée X de dimension 4 est une hypersurface, alors X est birationnelle au quotient d'une variété rationnelle explicite par l'action d'un groupe fini. Si, de plus, le rang du groupe de Picard de X est égal à 1, nous en déduisons que X est une hypersurface quadrique d'un espace projectif.

Mots-clefs : Variété des tangentes rationnelles minimales, courbes rationnelles minimales.

Abstract:
Let X be a uniruled projective manifold and let x be a general point. The main result of [2] says that if the (-K_X)-degrees (i.e., the degrees with respect to the anti-canonical bundle of X) of all rational curves through x are at least X +1, then X is a projective space. In this paper, we study the structure of X when the (-K_X)-degrees of all rational curves through x are at least X. Our study uses the projective variety _x T_x(X), called the VMRT at x, defined as the union of tangent directions to the rational curves through x with minimal (-K_X)-degree. When the minimal (-K_X)-degree of rational curves through x is equal to X, the VMRT _x is a hypersurface in T_x(X). Our main result says that if the VMRT at a general point of a uniruled projective manifold X of dimension 4 is a smooth hypersurface, then X is birational to the quotient of an explicit rational variety by a finite group action. As an application, we show that, if furthermore X has Picard number 1, then X is biregular to a hyperquadric.

Keywords: Varieties of minimal rational tangents, minimal rational curves.

Class. math. : 14J40, 53B99


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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