Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.198.200.120
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 46 (2013)

Parutions < série 4, 46

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 46, fascicule 4 (2013)

Carlos D'Andrea, Teresa Krick, Martín Sombra
Heights of varieties in multiprojective spaces and arithmetic Nullstellensätze
Annales scientifiques de l'ENS 46, fascicule 4 (2013), 549-627

Télécharger cet article : Fichier PDF
Acheter l'ouvrage

Résumé :
Hauteurs des variétés dans des espaces multiprojectifs et Nullstellensatz arithmétique
Nous présentons des bornes pour les degrés et hauteurs des polynômes apparaissant dans certains problèmes de géométrie algébrique effective, dont l'implicitation d'applications rationnelles et le Nullstellensatz effectif sur une variété. Notre traitement est basé sur la théorie de l'intersection arithmétique dans un produit d'espaces projectifs. Il étend au cadre arithmétique des constructions et résultats dus à Jelonek. Un rôle central est joué par la notion de hauteur canonique mixte d'une variété multiprojective. Nous étudions cette notion à l'aide de la théorie des résultants et nous montrons quelques-unes de ses propriétés de base, y compris son comportement par rapport aux intersections, projections et produits. Nous obtenons aussi des résultats analogues dans le cas d'un corps de fonctions, dont un Nullstellensatz paramétrique.

Mots-clefs : Espaces multiprojectifs, hauteurs mixtes, résultants, implicitation, Nullstellensatz arithmétique.

Abstract:
We present bounds for the degree and the height of the polynomials arising in some problems in effective algebraic geometry including the implicitization of rational maps and the effective Nullstellensatz over a variety. Our treatment is based on arithmetic intersection theory in products of projective spaces and extends to the arithmetic setting constructions and results due to Jelonek. A key role is played by the notion of canonical mixed height of a multiprojective variety. We study this notion from the point of view of resultant theory and establish some of its basic properties, including its behavior with respect to intersections, projections and products. We obtain analogous results for the function field case, including a parametric Nullstellensatz.

Keywords: Multiprojective spaces, mixed heights, resultants, implicitization, arithmetic Nullstellensatz.

Class. math. : 11G50; 14Q20, 13P15


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Aschenbrenner, Matthias
Ideal membership in polynomial rings over the integers
J. Amer. Math. Soc. 17 (2004) 407–441
Math Reviews MR2051617 (2005c:13032)
Zentralblatt 1099.13045
2
Berenstein, Carlos A. and Yger, Alain
Effective Bézout identities in Q[z1,,zn]
Acta Math. 166 (1991) 69–120
Math Reviews MR1088983 (92f:32004)
3
Berenstein, Carlos A. and Yger, Alain
Residue calculus and effective Nullstellensatz
Amer. J. Math. 121 (1999) 723–796
Math Reviews MR1704477 (2000g:13016)
Zentralblatt 944.14002
4
Bilu, Yuri F. and Strambi, Marco
Quantitative Riemann existence theorem over a number field
Acta Arith. 145 (2010) 319–339
Math Reviews MR2738151 (2011m:14045)
Zentralblatt 1222.11082
5
Bombieri, E. and Bourgain, J. and Konyagin, S. V.
Roots of polynomials in subgroups of F*p and applications to congruences
Int. Math. Res. Not. 2009 (2009) 802–834
Math Reviews MR2482126 (2010f:11049)
6
Brownawell, W. Dale
The Hilbert Nullstellensatz, inequalities for polynomials, and algebraic independence
in Introduction to algebraic independence theory
Lecture Notes in Math. 1752 (2001) 239–248
Math Reviews MR1837838
7
Brownawell, W. Dale
Bounds for the degrees in the Nullstellensatz
Ann. of Math. 126 (1987) 577–591
Math Reviews MR916719 (89b:12001)
Zentralblatt 641.14001
8
9
Chow, Wei-Liang and van der Waerden, B. L.
Zur algebraischen Geometrie. IX
Math. Ann. 113 (1937) 692–704
Math Reviews MR1513117
Zentralblatt 016.04004
10
Dahan, Xavier and Kadri, Abdulilah and Schost, Éric
Bit-size estimates for triangular sets in positive dimension
J. Complexity 28 (2012) 109–135
Math Reviews MR2871788 (2012k:68358)
Zentralblatt 1246.13039
11
David, Sinnou and Philippon, Patrice
Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés des tores
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 28 (1999) 489–543
Math Reviews MR1736526 (2001a:11109)
Zentralblatt 1002.11055
12
Fulton, William
Intersection theory
Springer, 1984
Math Reviews MR732620 (85k:14004)
Zentralblatt 541.14005
13
Gelfand, I. M. and Kapranov, M. M. and Zelevinsky, A. V.
Discriminants, resultants, and multidimensional determinants
Mathematics: Theory Applications (1994) 523
Math Reviews MR1264417 (95e:14045)
14
Hartshorne, Robin
Algebraic geometry
Springer, 1977
Math Reviews MR0463157 (57 \#3116)
Zentralblatt 367.14001
15
Jelonek, Zbigniew
On the effective Nullstellensatz
Invent. Math. 162 (2005) 1–17
Math Reviews MR2198324 (2006k:13057)
Zentralblatt 1087.14003
16
Jouanolou, Jean-Pierre
Théorèmes de Bertini et applications
Birkhäuser, 1983
Math Reviews MR725671 (86b:13007)
Zentralblatt 519.14002
17
Koiran, Pascal
Hilbert's Nullstellensatz is in the polynomial hierarchy
J. Complexity 12 (1996) 273–286
Math Reviews MR1422712 (98e:68109)
Zentralblatt 862.68053
18
Kresch, Andrew and Tschinkel, Yuri
Effectivity of Brauer-Manin obstructions
Adv. Math. 218 (2008) 1–27
Math Reviews MR2409407 (2009e:14038)
Zentralblatt 1142.14013
19
Krick, Teresa and Pardo, Luis Miguel
A computational method for Diophantine approximation
in Algorithms in algebraic geometry and applications (Santander, 1994)
Progr. Math. 143 (1996) 193–253
Math Reviews MR1414452 (98h:13039)
Zentralblatt 878.11043
20
Krick, Teresa and Pardo, Luis Miguel and Sombra, Martín
Sharp estimates for the arithmetic Nullstellensatz
Duke Math. J. 109 (2001) 521–598
Math Reviews MR1853355 (2002h:11060)
Zentralblatt 1010.11035
21
Lang, Serge
Fundamentals of Diophantine geometry
Springer, 1983
Math Reviews MR715605 (85j:11005)
Zentralblatt 528.14013
22
Lang, Serge
Algebra
Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1993
Math Reviews MR0197234 (33 \#5416)
Zentralblatt 193.34701
23
Macaulay, F. S.
Some formulae in elimination
Proc. London Math. Soc. 1 (1902) 3–27
Math Reviews MR1577000
24
Lelong, Pierre
Mesure de Mahler et calcul de constantes universelles pour les polynômes de n variables
Math. Ann. 299 (1994) 673–695
Math Reviews MR1286891 (95g:32025)
Zentralblatt 816.31006
25
Maillot, V.
Géométrie d'Arakelov des variétés toriques et fibrés en droites intégrables
2000
26
Pedersen, Paul and Sturmfels, Bernd
Product formulas for resultants and Chow forms
Math. Z. 214 (1993) 377–396
Math Reviews MR1245200 (94m:14068)
Zentralblatt 792.13006
27
Perron, Oskar
Algebra. I. Die Grundlagen
Walter de Gruyter Co., 1951
Math Reviews MR0038319 (12,386b)
Zentralblatt 045.29702
28
Philippon, Patrice
Critères pour l'indépendance algébrique
Publ. Math. I.H.É.S. 64 (1986) 5–52
Math Reviews MR876159 (88h:11048)
Zentralblatt 615.10044
29
Philippon, Patrice
Dénominateurs dans le théorème des zéros de Hilbert
Acta Arith. 58 (1991) 1–25
Math Reviews MR1111087 (92i:13008)
Zentralblatt 679.13010
30
Philippon, Patrice
Sur des hauteurs alternatives. I
Math. Ann. 289 (1991) 255–283
Math Reviews MR1092175 (92m:11061)
Zentralblatt 726.14017
31
Philippon, Patrice
Sur des hauteurs alternatives. III
J. Math. Pures Appl. 74 (1995) 345–365
Math Reviews MR1341770 (97a:11098)
Zentralblatt 878.11025
32
Philippon, Patrice and Sombra, Martín
Hauteur normalisée des variétés toriques projectives
J. Inst. Math. Jussieu 7 (2008) 327–373
Math Reviews MR2400725 (2010a:11125)
Zentralblatt 1147.11033
33
Rémond, Gaël
Élimination multihomogène
in Introduction to algebraic independence theory
Lecture Notes in Math. 1752 (2001) 53–81
Math Reviews MR1837827
34
Rémond, Gaël
Géométrie diophantienne multiprojective
in Introduction to algebraic independence theory
Lecture Notes in Math. 1752 (2001) 95–131
Math Reviews MR1837829
35
Rémond, Gaël
Nombre de points rationnels des courbes
Proc. Lond. Math. Soc. 101 (2010) 759–794
Math Reviews MR2734960 (2011k:11088)
Zentralblatt 1210.11073
36
Smietanski, F.
A parametrized Nullstellensatz
in Computational algebraic geometry (Nice, 1992)
Progr. Math. 109 (1993) 287–300
Math Reviews MR1230873 (94i:13017)
Zentralblatt 796.14004
37
Smyth, C. J.
A Kronecker-type theorem for complex polynomials in several variables
Canad. Math. Bull. 24 (1981) 447–452
Math Reviews MR644534 (83m:12032a)
Zentralblatt 475.12002
38
Sombra, Martín
The height of the mixed sparse resultant
Amer. J. Math. 126 (2004) 1253–1260
Math Reviews MR2102395 (2005h:11139)
Zentralblatt 1070.11010
39
Teissier, Bernard
Résultats récents d'algèbre commutative effective
Séminaire Bourbaki, vol. 1989/90, exposé no 718, Astérisque 189-190 (1990) 107–131
Math Reviews MR1099873 (92e:13015)
Zentralblatt 743.13017