Le produit de deux es de Schubert dans l'anneau de $K$-théorie quantique d'un espace homogène $X=G/P$ est une série formelle à coefficients dans l'anneau de Grothendieck des fibrés vectoriels algébriques au-dessus de $X$. Nous montrons que pour $X$ cominuscule, cette série formelle n'a qu'un nombre fini de termes non nuls. La preuve repose sur une étude géométrique de certaines variétés de Gromov-Witten contenues dans le bord de l'espace de modules de Kontsevitch. Ces variétés paramètrent des applications stables à valeurs dans $X$, dont la courbe source est une union réductible de courbes rationnelles, et qui envoient les points marqués dans des sous-variétés de Schubert générales. Nous montrons que ces variétés de Gromov-Witten sont à singularités rationnelles et que celles définies par seulement deux sous-variétés de Schubert sont soit vides soit unirationnelles. Nous présentons également un énoncé relatif, de type Kleiman-Bertini pour les singularités rationnelles, d'intérêt indépendant. Un résultat-clé pour notre preuve est le fait que toutes les variétés de Gromov-Witten du bord de l'espace de modules de Kontsevitch, définies par trois variétés de Schubert ponctuelles dans $X$, sont rationnellement connexes.