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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 46 (2013)

Parutions < série 4, 46

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 46, fascicule 3 (2013)

Claire Voisin
The generalized Hodge and Bloch conjectures are equivalent for general complete intersections
Annales scientifiques de l'ENS 46, fascicule 3 (2013), 449-475

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Résumé :
Les conjectures de Hodge et de Bloch généralisées sont équivalentes pour les intersections complètes générales
Nous montrons la conjecture de Bloch pour les surfaces avec p_g=0 obtenues comme lieux des zéros X_ d'une section d'un fibré vectoriel très ample sur une variété X à groupes de Chow triviaux. Nous obtenons un résultat similaire en présence d'une action d'un groupe fini, montrant que si un projecteur du groupe agit comme 0 sur les 2-formes holomorphes de X_, il agit comme 0 sur les 0-cycles de degré 0 de X_. En dimension supérieure, nous obtenons un résultat similaire mais conditionnel montrant que la conjecture de Hodge généralisée pour X_ générale entraîne la conjecture de Bloch généralisée pour tout X_ lisse, en supposant satisfaite la conjecture de Lefschetz standard (cette dernière hypothèse n'étant pas nécessaire en dimension 3).

Mots-clefs : Cycles algébriques, conjecture de Bloch, conjecture de Hodge généralisée.

Abstract:
We prove that Bloch's conjecture is true for surfaces with p_g=0 obtained as 0-sets X_ of a section of a very ample vector bundle on a variety X with ``trivial'' Chow groups. We get a similar result in presence of a finite group action, showing that if a projector of the group acts as 0 on holomorphic 2-forms of X_, then it acts as 0 on 0-cycles of degree 0 of X_. In higher dimension, we also prove a similar but conditional result showing that the generalized Hodge conjecture for general X_ implies the generalized Bloch conjecture for any smooth X_, assuming the Lefschetz standard conjecture (the last hypothesis is not needed in dimension 3).

Keywords: Algebraic cycles, Bloch conjecture, generalized Hodge conjecture.

Class. math. : 14C25, 14C30


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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