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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 46 (2013)

Parutions < série 4, 46

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 46, fascicule 3 (2013)

Baptiste Calmès, Viktor Petrov, Kirill Zainoulline
Invariants, torsion indices and oriented cohomology of complete flags
Annales scientifiques de l'ENS 46, fascicule 3 (2013), 405-448

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Résumé :
Invariants, indices de torsion et cohomologie orientée des variétés de drapeaux complets
Soit G un groupe algébrique linéaire semi-simple déployé sur un corps et soit T un tore maximal déployé de G. Étant donnée une cohomologie orientée (anneau de Chow, K_0 de Grothendieck, K-théorie connective, etc.) et sa loi de groupe formel F, nous construisons un anneau appelé anneau de groupe formel, associé à F et aux caractères de T, puis un homomorphisme caractéristique c de cet anneau de groupe formel vers l'anneau (G/B)G/B est la variété des sous-groupes de Borel de G. Le résultat principal de cet article montre que, lorsque l'indice de torsion du groupe G est inversé, c est surjectif et son noyau est engendré par des éléments invariants sous l'action du groupe de Weyl de G. En guise d'application, nous fournissons un algorithme qui permet de calculer la structure d'anneau de (G/B) et d'y calculer les classes de variétés de Schubert désingularisées et leur produits.

Mots-clefs : Groupe algébrique linéaire, cohomologie orientée, loi de groupe formel.

Abstract:
Let G be a split semisimple linear algebraic group over a field and let T be a split maximal torus of G. Let  be an oriented cohomology (algebraic cobordism, connective K-theory, Chow groups, Grothendieck's K_0, etc.) with formal group law F. We construct a ring from F and the characters of T, that we call a formal group ring, and we define a characteristic ring morphism c from this formal group ring to (G/B) where G/B is the variety of Borel subgroups of G. Our main result says that when the torsion index of G is inverted, c is surjective and its kernel is generated by elements invariant under the Weyl group of G. As an application, we provide an algorithm to compute the ring structure of (G/B) and to describe the classes of desingularized Schubert varieties and their products.

Keywords: linear algebraic group, oriented cohomology, formal group law.

Class. math. : 14F43, 14L05, 14M15, 19L41, 20G10


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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