Soit $X$ une variété hyperkählérienne compacte contenant un tore complexe $L$ en tant que sous-variété lagrangienne. A. Beauville a posé la question suivante : la variété $X$ admet-elle une fibration lagrangienne de fibre $L$ ? Nous démontrons que c' est le cas si $X$ n' est pas projective. Si $X$ est projective nous montrons l'existence d'une fibration lagrangienne presque holomorphe de fibre $L$ sous des hypothèses plus restrictives sur la paire $(X,L)$. Ces hypothèses peuvent se formuler de deux manières : en termes topologiques ou grâce à la théorie des déformations de $(X,L)$. Par ailleurs, nous démontrons que pour une telle fibration lagrangienne presque holomorphe il y a toujours un bon modèle minimal lisse, c' est-à-dire une variété hyperkählérienne birationelle à $X$ sur laquelle la fibration est holomorphe.