Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.80.139.48
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 46 (2013)

Parutions < série 4, 46

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 46, fascicule 3 (2013)

Daniel Greb, Christian Lehn, Sönke Rollenske
Lagrangian fibrations on hyperkähler manifolds – question of Beauville
Annales scientifiques de l'ENS 46, fascicule 3 (2013), 375-403

Télécharger cet article : Fichier PDF
Acheter l'ouvrage

Résumé :
Fibrations lagrangiennes sur les variétés hyperkähleriennes – Sur une question de Beauville
Soit X une variété hyperkählérienne compacte contenant un tore complexe L en tant que sous-variété lagrangienne. A. Beauville a posé la question suivante : la variété X admet-elle une fibration lagrangienne de fibre L? Nous démontrons que cest le cas si X nest pas projective. Si X est projective nous montrons l'existence d'une fibration lagrangienne presque holomorphe de fibre L sous des hypothèses plus restrictives sur la paire (X,L). Ces hypothèses peuvent se formuler de deux manières : en termes topologiques ou grâce à la théorie des déformations de (X,L). Par ailleurs, nous démontrons que pour une telle fibration lagrangienne presque holomorphe il y a toujours un bon modèle minimal lisse, cest-à-dire une variété hyperkählérienne birationelle à X sur laquelle la fibration est holomorphe.

Mots-clefs : Variété hyperkählérienne, fibration lagrangienne.

Abstract:
Let X be a compact hyperkähler manifold containing a complex torus L as a Lagrangian subvariety. Beauville posed the question whether X admits a Lagrangian fibration with fibre L. We show that this is indeed the case if X is not projective. If X is projective we find an almost holomorphic Lagrangian fibration with fibre L under additional assumptions on the pair (X, L), which can be formulated in topological or deformation-theoretic terms. Moreover, we show that for any such almost holomorphic Lagrangian fibration there exists a smooth good minimal model, i.e., a hyperkähler manifold birational to X on which the fibration is holomorphic.

Keywords: Hyperkähler manifold, Lagrangian fibration.

Class. math. : 53C26, 14D06, 14E30, 32G10, 32G05.


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Amerik, Ekaterina and Campana, Frédéric
Fibrations méromorphes sur certaines variétés à fibré canonique trivial
Pure Appl. Math. Q. 4 (2008) 509–545
Math Reviews MR2400885 (2009k:14022)
Zentralblatt 1143.14035
2
Barlet, Daniel
Espace analytique réduit des cycles analytiques complexes compacts d'un espace analytique complexe de dimension finie
in Fonctions de plusieurs variables complexes, II (Sém. François Norguet, 1974–1975)
Lecture Notes in Math. 482 (1975) 1–158
Math Reviews MR0399503 (53 \#3347)
Zentralblatt 331.32008
3
Barlet, Daniel
How to use the cycle space in complex geometry
in Several complex variables (Berkeley, CA, 1995–1996)
Math. Sci. Res. Inst. Publ. 37 (1999) 25–42
Math Reviews MR1748599 (2001b:32020)
Zentralblatt 962.32016
4
Bauer, Thomas and Campana, Frédéric and Eckl, Thomas and Kebekus, Stefan and Peternell, Thomas and Rams, Sławomir and Szemberg, Tomasz and Wotzlaw, Lorenz
A reduction map for nef line bundles
in Complex geometry (Göttingen, 2000)
(2002) 27–36
Math Reviews MR1922095 (2003h:14023)
Zentralblatt 1054.14019
5
Birkar, Caucher and Cascini, Paolo and Hacon, Christopher D. and McKernan, James
Existence of minimal models for varieties of log general type
J. Amer. Math. Soc. 23 (2010) 405–468
Math Reviews MR2601039 (2011f:14023)
Zentralblatt 1210.14019
6
Beauville, Arnaud
Variétés kählériennes dont la première classe de Chern est nulle
J. Differential Geom. 18 (1983) 755–782
Math Reviews MR730926 (86c:32030)
Zentralblatt 537.53056
7
Beauville, Arnaud
Symplectic singularities
Invent. Math. 139 (2000) 541–549
Math Reviews MR1738060 (2001f:14008)
Zentralblatt 958.14001
8
Beauville, Arnaud
Holomorphic symplectic geometry: a problem list
in Complex and differential geometry
Springer Proc. Math. 8 (2011) 49–63
Math Reviews MR2964467
Zentralblatt 1231.32012
9
Campana, Frédéric
Isotrivialité de certaines familles kählériennes de variétés non projectives
Math. Z. 252 (2006) 147–156
Math Reviews MR2209156 (2007b:32022)
Zentralblatt 1104.32008
10
11
Campana, Frédéric and Oguiso, Keiji and Peternell, Thomas
Non-algebraic hyperkähler manifolds
J. Differential Geom. 85 (2010) 397–424
Math Reviews MR2739808 (2011m:53069)
12
Demailly, Jean-Pierre
Multiplier ideal sheaves and analytic methods in algebraic geometry
in School on Vanishing Theorems and Effective Results in Algebraic Geometry (Trieste, 2000)
ICTP Lect. Notes 6 (2001) 1–148
Math Reviews MR1919457 (2003f:32020)
Zentralblatt 1102.14300
13
Donagi, Ron and Markman, Eyal
Spectral covers, algebraically completely integrable, Hamiltonian systems, and moduli of bundles
in Integrable systems and quantum groups (Montecatini Terme, 1993)
Lecture Notes in Math. 1620 (1996) 1–119
Math Reviews MR1397273 (97h:14017)
Zentralblatt 853.35100
14
Douady, Adrien
Le problème des modules pour les sous-espaces analytiques compacts d'un espace analytique donné
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 16 (1966) 1–95
Math Reviews MR0203082 (34 \#2940)
Zentralblatt 146.31103
15
Dloussky, Georges and Teleman, Andrei
Infinite bubbling in non-Kählerian geometry
Math. Ann. 353 (2012) 1283–1314
Math Reviews MR2944030
Zentralblatt 1252.32026
16
Fujiki, Akira
Closedness of the Douady spaces of compact Kähler spaces
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 14 (1978/79) 1–52
Math Reviews MR0486648 (58 \#6361)
17
Fujiki, Akira
On the Douady space of a compact complex space in the category C
Nagoya Math. J. 85 (1982) 189–211
Math Reviews MR648422 (84g:32034)
18
Several complex variables. VII
Springer, 1994
Math Reviews MR1326617 (96k:32001)
Zentralblatt 793.00010
19
Huybrechts, Daniel
Compact hyperkähler manifolds: basic results
Invent. Math. 135 (1999) 63–113
Math Reviews MR1664696 (2000a:32039)
20
Huybrechts, Daniel
Compact hyperkähler manifolds
in Calabi-Yau manifolds and related geometries (Nordfjordeid, 2001)
Universitext (2003) 161–225
Math Reviews MR1963562
Zentralblatt 1042.53032
21
Hwang, Jun-Muk
Geometry of minimal rational curves on Fano manifolds
in School on Vanishing Theorems and Effective Results in Algebraic Geometry (Trieste, 2000)
ICTP Lect. Notes 6 (2001) 335–393
Math Reviews MR1919462 (2003g:14054)
Zentralblatt 1086.14506
22
23
24
Kawamata, Yujiro
Flops connect minimal models
Publ. Res. Inst. Math. Sci. 44 (2008) 419–423
Math Reviews MR2426353 (2009d:14011)
Zentralblatt 1145.14014
25
Kollár, János and Mori, Shigefumi
Birational geometry of algebraic varieties
Cambridge Univ. Press, 1998
Math Reviews MR1658959 (2000b:14018)
Zentralblatt 926.14003
26
Kodaira, K. and Spencer, D. C.
On deformations of complex analytic structures. III. Stability theorems for complex structures
Ann. of Math. 71 (1960) 43–76
Math Reviews MR0115189 (22 \#5991)
27
Lai, Ching-Jui
Varieties fibered by good minimal models
Math. Ann. 350 (2011) 533–547
Math Reviews MR2805635 (2012e:14032)
Zentralblatt 1221.14018
28
Lazarsfeld, Robert
Positivity in algebraic geometry. II
Springer, 2004
Math Reviews MR2095472 (2005k:14001b)
Zentralblatt 1093.14500
29
Lehn, Christian
Symplectic Lagrangian fibrations
Dissertation, Johannes Gutenberg Universität, Mainz (2011)
30
Lieberman, David I.
Compactness of the Chow scheme: applications to automorphisms and deformations of Kähler manifolds
in Fonctions de plusieurs variables complexes, III (Sém. François Norguet, 1975–1977)
Lecture Notes in Math. 670 (1978) 140–186
Math Reviews MR521918 (80h:32056)
Zentralblatt 391.32018
31
Matsushita, Daisuke
On fibre space structures of a projective irreducible symplectic manifold
Topology 38 (1999) 79–83
Math Reviews MR1644091 (99f:14054)
Zentralblatt 932.32027
32
Matsushita, Daisuke
Equidimensionality of Lagrangian fibrations on holomorphic symplectic manifolds
Math. Res. Lett. 7 (2000) 389–391
Math Reviews MR1783616 (2001f:32041)
Zentralblatt 1002.53050
33
Matsushita, Daisuke
Addendum to [31]
Topology 40 (2001) 431–432
34
Matsushita, Daisuke
Holomorphic symplectic manifolds and Lagrangian fibrations
Acta Appl. Math. 75 (2003) 117–123
Math Reviews MR1975562 (2004c:32040)
35
Matsushita, Daisuke
On nef reductions of projective irreducible symplectic manifolds
Math. Z. 258 (2008) 267–270
Math Reviews MR2357635 (2008k:14014)
Zentralblatt 1129.14013
36
37
38
Moishezon, Boris G.
On n-dimensional compact complex varieties with n algebraically independent meromorphic functions. I–III
Am. Math. Soc. Transl. 63 (1967) 51–177
39
Namikawa, Yoshinori
On deformations of Q-factorial symplectic varieties
J. reine angew. Math. 599 (2006) 97–110
Math Reviews MR2279099 (2007g:14004)
Zentralblatt 1122.14029
40
Ran, Ziv
Lifting of cohomology and unobstructedness of certain holomorphic maps
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 26 (1992) 113–117
Math Reviews MR1102754 (92h:32035)
Zentralblatt 749.32010
41
Sawon, Justin
Abelian fibred holomorphic symplectic manifolds
Turkish J. Math. 27 (2003) 197–230
Math Reviews MR1975339 (2004g:32021)
Zentralblatt 1065.53067
42
Verbitsky, Misha
HyperKähler SYZ conjecture and semipositive line bundles
Geom. Funct. Anal. 19 (2010) 1481–1493
Math Reviews MR2585581 (2011b:32039)
Zentralblatt 1188.53046
43
Voisin, Claire
Sur la stabilité des sous-variétés lagrangiennes des variétés symplectiques holomorphes
in Complex projective geometry (Trieste, 1989/Bergen, 1989)
London Math. Soc. Lecture Note Ser. 179 (1992) 294–303
Math Reviews MR1201391 (94b:32029)
Zentralblatt 765.32012
44