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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 45 (2012)

Parutions < série 4, 45

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 45, fascicule 6 (2012)

Frédéric Bayart, Yanick Heurteaux
Multifractal analysis of the divergence of Fourier series
Annales scientifiques de l'ENS 45, fascicule 6 (2012), 927-946

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Résumé :
Analyse multifractale des points de divergence des séries de Fourier
Un célèbre théorème de Carleson nous dit que si une fonction f est de puissance p-ième intégrable (p>1), sa série de Fourier converge presque partout. D'un autre côté, il peut y avoir des points de divergence. Pour un tel point donné x, on peut introduire l'indice de divergence comme étant le plus petit exposant tel que S_nf(x)=O(n^). On sait que cet indice est au plus égal à 1/p et on s'intéresse à la dimension des ensembles exceptionnels de points E_ d'indice de divergence donné . Nous montrons que quasi-toute fonction de L^p (au sens de Baire) a un comportement multifractal. De façon précise, quasi-sûrement dans L^p, pour tout , la dimension de Hausdorff de E_ vaut 1-p. Nous nous intéressons aussi aux fonctions continues pour lesquelles la croissance de S_nf(x) est contrôlée par le logarithme de n. Là encore un indice de divergence (logarithmique) peut être introduit et nous obtenons des résultats surprenants sur la taille des ensembles exceptionnels.

Mots-clefs : Séries de Fourier, analyse multifractale, divergence, théorème de Baire

Abstract:
A famous theorem of Carleson says that, given any function fL^p(),p(1,+), its Fourier series (S_nf(x)) converges for almost every xT. Beside this property, the series may diverge at some point, without exceeding O(n^1/p). We define the divergence index at x as the infimum of the positive real numbers such that S_nf(x)=O(n^) and we are interested in the size of the exceptional sets E_, namely the sets of xT with divergence index equal to . We show that quasi-all functions in L^p() have a multifractal behavior with respect to this definition. Precisely, for quasi-all functions in L^p(T), for all [0,1/p], E_ has Hausdorff dimension equal to 1-p. We also investigate the same problem in C(T), replacing polynomial divergence by logarithmic divergence. In this context, the results that we get on the size of the exceptional sets are rather surprising.

Keywords: Fourier series, multifractal analysis, divergence, Baire category theorem

Class. math. : 42A20


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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