Nous obtenons une estimation de la différence entre deux solutions de l'équation des Schrödinger maps de $T^1$ dans $S^2.$ Cette estimation fournit une propriété de continuité du flot associé pour la topologie de $L^2(T^1,S^2)$, quotientée par l'action continue du groupe $T^1$ via les translations. Nous démontrons également que sans cette prise de quotient, quel que soit $t>0$ l'application flot au temps $t$ est discontinue de $\mathcal {C}^\infty (T^1,S^2)$, équipé de la topologie faible de $H^{1/2},$ vers l'espace des distributions périodiques $(\mathcal {C}^\infty (T^1,\mathbb R ^3))^*.$ L'argument repose de manière essentielle sur le lien étroit entre l'équation des Schrödinger maps et celle du flot par courbure binormale pour une courbe dans l'espace, et sur une nouvelle estimation concernant ce dernier.