Soit $P$ une perturbation métrique à longue portée du laplacien euclidien sur $\mathbb {R} ^{d}$, $d \geq 2$. On montre la décroissance de l'énergie locale des solutions des équations des ondes, de Klein-Gordon et de Schrödinger associées à $P$. Le problème est décomposé en une analyse basses et hautes fréquences. Afin de traiter les hautes fréquences, on fait une hypothèse de non capture. Pour les basses (resp. hautes) fréquences, on obtient un résultat général sur la décroissance de l'énergie locale pour le groupe $e^{i t f (P)}$ où $f$ a un comportement prescrit en zéro (resp. à l'infini).