Étant donnés un entier $n\geq 1$ et un groupe de Barsotti-Tate tronqué d'échelon $n$ et de dimension $d$ sur un anneau de valuation d'inégales caractéristiques, nous donnons une borne explicite sur son invariant de Hasse qui implique que sa filtration de Harder-Narasimhan possède un sous-groupe libre de rang $d$. Lorsque $n=1$ nous redémontrons également le théorème d'Abbes-Mokrane ([?]) et de Tian ([?]) par des méthodes locales. On applique cela aux familles $p$-adiques de tels objets et en particulier à certaines variétés de Shimura de type PEL afin de montrer l'existence de familles compatibles de sections de certaines correspondances de Hecke sur des voisinages tubulaires explicites du lieu ordinaire.